$f(\theta) = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$の最大値と最小値を$-\pi \le \theta \le \pi$の範囲で求めよ。

## 問題の回答

以下に問題の回答を示します。

### 問題１

1. 問題の内容

$f(\theta) = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$の最大値と最小値を$-\pi \le \theta \le \pi$の範囲で求めよ。

2. 解き方の手順

* 三角関数の合成を行う。

$f(\theta) = 2(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

* $-\pi \le \theta \le \pi$より、$-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$

* $\sin$関数の最大値は$1$、最小値は$-1$となる。

* $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$のとき最大値$2$となる。このとき、$\theta = \frac{5\pi}{6}$で、$-\pi \le \theta \le \pi$を満たす。

* $\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$のとき$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$。

$\theta = -\frac{\pi}{6}$で最小値$-2$となる。このとき、$-\pi \le \theta \le \pi$を満たす。

* 区間の端点での値を考慮。

$\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$のとき$\sin(-\frac{4\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$のとき$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

これより最小値は$-2$。

3. 最終的な答え

最大値：$2$

最小値：$-2$

### 問題２

1. 問題の内容

不等式 $\cos 2\theta > \sin \theta$ を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で解け。

2. 解き方の手順

* 倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いて式を書き換える。

$1 - 2\sin^2 \theta > \sin \theta$

$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 < 0$

* $x = \sin \theta$ とおくと、 $2x^2 + x - 1 < 0$

$(2x - 1)(x + 1) < 0$

$-1 < x < \frac{1}{2}$

* $\sin \theta$ に戻すと、 $-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}$

* $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で $\sin \theta = -1$ となるのは $\theta = \frac{3\pi}{2}$。 よって、$-1 < \sin \theta$ は $\theta \ne \frac{3\pi}{2}$

* $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$。 よって、$\sin \theta < \frac{1}{2}$ は $0 \le \theta < \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$

* 上記より、$\frac{3\pi}{2}$に注意すると、

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

### 問題３

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ において、$t = \sin x + \cos x$ とおく。$y$ を $t$ の式で表すとき、次の問いに答えよ。ただし $0 \le x \le \pi$ とする。

(1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $y$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

* $0 \le x \le \pi$ より $\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

* $\sin(x + \frac{\pi}{4})$ の範囲は $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

* よって、$-\sqrt{2} * \frac{1}{\sqrt{2}} \le \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

つまり、$-1 \le t \le \sqrt{2}$

(2)

* $y = \sin x \cos x (\sin x + \cos x + 1) = \sin x \cos x (t + 1)$

* $t = \sin x + \cos x$ より $t^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$

$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$

* $y = \frac{t^2 - 1}{2}(t + 1) = \frac{1}{2}(t^3 + t^2 - t - 1)$

* $y' = \frac{1}{2}(3t^2 + 2t - 1) = \frac{1}{2}(3t - 1)(t + 1)$

* $y' = 0$ より、$t = -1, \frac{1}{3}$

* $t$ の範囲は $-1 \le t \le \sqrt{2}$。

* $t = -1$ のとき $y = 0$

* $t = \frac{1}{3}$ のとき $y = \frac{1}{2} (\frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1) = \frac{1}{2} (\frac{1 + 3 - 9 - 27}{27}) = \frac{-32}{54} = -\frac{16}{27}$

* $t = \sqrt{2}$ のとき $y = \frac{1}{2}(2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} - 1) = \frac{1}{2}(\sqrt{2} + 1)$

* したがって、最小値は $-\frac{16}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \le t \le \sqrt{2}$

(2) $-\frac{16}{27}$

### 問題４

1. 問題の内容

$\alpha = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \beta = \frac{1 + i}{2}$ のとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\alpha^{10}$ の値を求めよ。

(2) $\beta^6$ の値を求めよ。

(3) $(\frac{\alpha}{\beta}-2)^4$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* $\alpha = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = e^{i\frac{\pi}{3}}$

* $\alpha^{10} = (e^{i\frac{\pi}{3}})^{10} = e^{i\frac{10\pi}{3}} = e^{i(3\pi + \frac{\pi}{3})} = e^{i(\pi + \frac{\pi}{3})} = \cos(\frac{10\pi}{3}) + i\sin(\frac{10\pi}{3})$

* $\cos(\frac{10\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

* $\sin(\frac{10\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\alpha^{10} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2)

* $\beta = \frac{1}{2} + i\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\frac{\pi}{4}}$

* $\beta^6 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^6 e^{i\frac{6\pi}{4}} = \frac{1}{8} e^{i\frac{3\pi}{2}} = \frac{1}{8} (\cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2}) = \frac{1}{8} (0 - i) = -\frac{i}{8}$

(3)

* $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\frac{\pi}{4}}} = \sqrt{2} e^{i(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})} = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{12}} = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12})$

* $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, \sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

* $\frac{\alpha}{\beta} = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

* $\frac{\alpha}{\beta} - 2 = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} - 2 + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 3}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

* $(\frac{\alpha}{\beta} - 2)^4 = (\frac{\sqrt{3} - 3}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2})^4$

ここで$(\frac{\alpha}{\beta}-2)$の絶対値を$r$、偏角を$\theta$とすると

$r = \sqrt{(\frac{\sqrt{3} - 3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3 - 6\sqrt{3} + 9 + 3 - 2\sqrt{3} + 1}{4}} = \sqrt{\frac{16 - 8\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1$

$\tan\theta = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{2}}{\frac{\sqrt{3} - 3}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 3} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(-\sqrt{3} - 3)}{-6} = \frac{-3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{-6} = \frac{-2\sqrt{3}}{-6} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\theta = \frac{\pi}{6}$

よって、$\frac{\alpha}{\beta}-2 = (\sqrt{3} - 1)e^{i\frac{\pi}{6}}$

$(\frac{\alpha}{\beta}-2)^4 = (\sqrt{3} - 1)^4 e^{i\frac{4\pi}{6}} = (\sqrt{3} - 1)^4 e^{i\frac{2\pi}{3}} = (\sqrt{3} - 1)^4 (\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3})$

$(\sqrt{3}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

$(\sqrt{3}-1)^4 = (4 - 2\sqrt{3})^2 = 16 - 16\sqrt{3} + 12 = 28 - 16\sqrt{3}$

$(\frac{\alpha}{\beta}-2)^4 = (28 - 16\sqrt{3}) (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -14 + 8\sqrt{3} + i(14\sqrt{3} - 24) = -14 + 8\sqrt{3} + i(14\sqrt{3} - 24)$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $-\frac{i}{8}$

(3) $-14 + 8\sqrt{3} + i(14\sqrt{3} - 24)$

### 問題５

行列の問題は計算が複雑なので省略します。

### 問題６

1. 問題の内容

次の式で与えられる直線または曲線を表すグラフを、原点を中心として反時計回りに$\frac{\pi}{3}$だけ回転させた関数を求めよ。

(1) 直線: $y = \sqrt{3}x + 5$

(2) 放物線: $y = \sqrt{3}x^2 + 10$

(3) 円: $(x - 1)^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 4$

2. 解き方の手順

回転行列を考える。反時計回りに$\theta$回転させる行列は、

$R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$のとき、

$R = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

回転前の点を$(x, y)$、回転後の点を$(x', y')$とすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

よって、$x' = \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y, y' = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y$

これから、$x = \frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y', y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y'$

(1)

$y = \sqrt{3}x + 5$に代入する。

$-\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = \sqrt{3}(\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y') + 5$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = \frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{3}{2}y' + 5$

$\sqrt{3}x' + y' + 5 = 0$

$y = -\sqrt{3}x - 5$

(2)

$y = \sqrt{3}x^2 + 10$に代入する。

$-\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = \sqrt{3}(\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y')^2 + 10$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = \sqrt{3}(\frac{1}{4}x'^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}x'y' + \frac{3}{4}y'^2) + 10$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = \frac{\sqrt{3}}{4}x'^2 + \frac{3}{2}x'y' + \frac{3\sqrt{3}}{4}y'^2 + 10$

$y' = \frac{\sqrt{3}}{2}x'^2 + 3x'y' + \frac{3\sqrt{3}}{2}y'^2 + \sqrt{3}x' + 20$

(3)

$(x - 1)^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 4$に代入する。

$(\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y' - 1)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' - \sqrt{3})^2 = 4$

$(\frac{1}{4}x'^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}x'y' + \frac{3}{4}y'^2 - x' - \sqrt{3}y' + 1) + (\frac{3}{4}x'^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}x'y' + \frac{1}{4}y'^2 + \sqrt{3}x' - y' + 3) = 4$

$x'^2 + y'^2 + (\sqrt{3} - 1)x' - (\sqrt{3} + 1)y' = 0$

$(x + \frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + (y - \frac{\sqrt{3} + 1}{2})^2 = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{4} + \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{4}$

$(x + \frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + (y - \frac{\sqrt{3} + 1}{2})^2 = \frac{4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{8}{4} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\sqrt{3}x - 5$

(2) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + 3xy + \frac{3\sqrt{3}}{2}y^2 + \sqrt{3}x + 20$

(3) $(x + \frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + (y - \frac{\sqrt{3} + 1}{2})^2 = 2$