$\sin^{-1}(\sin x)$ の導関数を求める問題です。ただし、$\sin^{-1}x$ は $\sin x$ の逆関数ですが、すべての $x$ に対して $\sin^{-1}(\sin x) = x$ が成り立つわけではありません。$\sin x$ の逆関数は $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で定義されています。

1. 問題の内容

$\sin^{-1}(\sin x)$ の導関数を求める問題です。ただし、$\sin^{-1}x$ は $\sin x$ の逆関数ですが、すべての $x$ に対して $\sin^{-1}(\sin x) = x$ が成り立つわけではありません。$\sin x$ の逆関数は $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で定義されています。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(\sin x)$ の導関数を求めるために、場合分けをします。

(i) $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき:

この範囲では、$\sin^{-1}(\sin x) = x$ が成り立ちます。したがって、

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(\sin x) = \frac{d}{dx} x = 1$

(ii) $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ のとき:

この範囲では、$\sin x = \sin(\pi - x)$ が成り立ち、かつ $-\frac{\pi}{2} \le \pi - x \le \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、$\sin^{-1}(\sin x) = \sin^{-1}(\sin(\pi - x)) = \pi - x$ となります。

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(\sin x) = \frac{d}{dx} (\pi - x) = -1$

(iii) 一般的な場合:

$x$ が一般的な値である場合は、$\sin x$ の周期性 ($2\pi$) を利用して適切な範囲に変換します。例えば、$2\pi$ を足したり引いたりして $x$ を $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ の範囲に収めてから、上記の議論を用います。$\sin^{-1}(\sin x)$のグラフを描くと理解しやすいです。

$\frac{d}{dx}\sin^{-1}u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$を利用して直接微分することも可能です。この場合$u = \sin x$なので、$\frac{du}{dx} = \cos x$となり、

$\frac{d}{dx}\sin^{-1}(\sin x) = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}}\cos x = \frac{\cos x}{|\cos x|}$

$\cos x > 0$であれば1、$\cos x < 0$であれば-1となる。

まとめると、

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(\sin x) =

\begin{cases}

1 & (-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}) \\

-1 & (\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2})

\end{cases}$

より一般的には,$\frac{\cos x}{|\cos x|}$となります.

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(\sin x) = \frac{\cos x}{|\cos x|}$

もしくは場合分けして記述すると

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(\sin x) =

\begin{cases}

1 & (\cos x > 0) \\

-1 & (\cos x < 0)

\end{cases}$