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与えられた角 $ \frac{4\pi}{3} $, $ \frac{7\pi}{4} $, $ \frac{7\pi}{6} $ に対する正弦（サイン）、余弦（コサイン）、正接（タンジェント）の値をそれぞれ求める問題です。

解析学三角関数三角比sincostanラジアン
2025/8/4

1. 問題の内容

与えられた角 4π3 \frac{4\pi}{3} , 7π4 \frac{7\pi}{4} , 7π6 \frac{7\pi}{6} に対する正弦（サイン）、余弦（コサイン）、正接（タンジェント）の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) θ=4π3 \theta = \frac{4\pi}{3} の場合
* 4π3\frac{4\pi}{3}は第3象限にあり、基準角はπ3 \frac{\pi}{3} です。
* 第3象限では、正弦と余弦が負で、正接が正です。
* sin⁡(π3)=32 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} なので、sin⁡(4π3)=−32 \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
* cos⁡(π3)=12 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} なので、cos⁡(4π3)=−12 \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}
* tan⁡(π3)=3 \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} なので、tan⁡(4π3)=3 \tan\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \sqrt{3}
(2) θ=7π4 \theta = \frac{7\pi}{4} の場合
* 7π4\frac{7\pi}{4}は第4象限にあり、基準角はπ4 \frac{\pi}{4} です。
* 第4象限では、余弦が正で、正弦と正接が負です。
* sin⁡(π4)=22 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} なので、sin⁡(7π4)=−22 \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
* cos⁡(π4)=22 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} なので、cos⁡(7π4)=22 \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
* tan⁡(π4)=1 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 なので、tan⁡(7π4)=−1 \tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -1
(3) θ=7π6 \theta = \frac{7\pi}{6} の場合
* 7π6\frac{7\pi}{6}は第3象限にあり、基準角はπ6 \frac{\pi}{6} です。
* 第3象限では、正弦と余弦が負で、正接が正です。
* sin⁡(π6)=12 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} なので、sin⁡(7π6)=−12 \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}
* cos⁡(π6)=32 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} なので、cos⁡(7π6)=−32 \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
* tan⁡(π6)=13=33 \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} なので、tan⁡(7π6)=33 \tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}

3. 最終的な答え

(1) θ=4π3 \theta = \frac{4\pi}{3} の場合
* sin⁡(4π3)=−32 \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
* cos⁡(4π3)=−12 \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}
* tan⁡(4π3)=3 \tan\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \sqrt{3}
(2) θ=7π4 \theta = \frac{7\pi}{4} の場合
* sin⁡(7π4)=−22 \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
* cos⁡(7π4)=22 \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
* tan⁡(7π4)=−1 \tan\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -1
(3) θ=7π6 \theta = \frac{7\pi}{6} の場合
* sin⁡(7π6)=−12 \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}
* cos⁡(7π6)=−32 \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
* tan⁡(7π6)=33 \tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}

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