## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の7つの問題から構成されています。

1. 極限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{6}}$ を求める。

2. 複素数平面上の3点 $O(0), A(2+\sqrt{3}i)$ 、$B$があり、$\angle AOB = \frac{\pi}{6}$ かつ $OA = 2OB$ を満たすとき、点 $B$ を表す複素数を求める。

3. $i$を虚数単位とするとき、$(\frac{1+\sqrt{3}i}{1+i})^{12} = a+bi$ を満たす実数 $a,b$ を求める。

4. 複素数 $\frac{5-2i}{7+3i}$ の偏角を$\theta$とするとき、$\theta$を求める。ただし $0 \leq \theta < 2\pi$ とする。

5. $z=1+2i$ のとき、$z^3$を求め、複素数平面上の3点 $O(0), A(z), B(z^5)$ に対して、$\sin \angle AOB$ の値を求める。

6. $\alpha = 1+i, \beta = (1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2})i$ とし、複素数平面上の3点 $O(0), A(\alpha), B(\beta)$ を考える。このとき、$\frac{\beta}{\alpha}$を計算し、三角形 $OAB$ の面積を求める。

7. 等比数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \sqrt{3}-1, a_2 = 4-2\sqrt{3}$ を満たすとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求める。

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2. 解き方の手順

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1. 極限

ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{6}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{1} = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 複素数

点 $A$ を表す複素数を $z_A = 2 + \sqrt{3}i$ とし、点 $B$ を表す複素数を $z_B$ とする。

$OA = |z_A| = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+3} = \sqrt{7}$

$OB = \frac{1}{2}OA = \frac{\sqrt{7}}{2}$

$\angle AOB = \frac{\pi}{6}$ より、 $z_B = z_A \cdot \frac{OB}{OA} \cdot (\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$

$z_B = (2 + \sqrt{3}i) \cdot \frac{\sqrt{7}/2}{\sqrt{7}} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = (2 + \sqrt{3}i) \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)$

$z_B = \frac{1}{4}(2 + \sqrt{3}i)(\sqrt{3} - i) = \frac{1}{4}(2\sqrt{3} - 2i + 3i - \sqrt{3}i^2) = \frac{1}{4}(2\sqrt{3} + \sqrt{3} + i) = \frac{1}{4}(3\sqrt{3} + i) = \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i$

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3. 複素数

$(\frac{1+\sqrt{3}i}{1+i})^{12} = (\frac{2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)}{\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i)})^{12} = (\frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}})^{12} = (\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})})^{12}$

$= (\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}})^{12} = (\sqrt{2})^{12}e^{i\pi} = 2^6 (\cos \pi + i \sin \pi) = 64 (-1 + 0i) = -64$

$a = -64, b = 0$

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4. 複素数

$\frac{5-2i}{7+3i} = \frac{(5-2i)(7-3i)}{(7+3i)(7-3i)} = \frac{35 - 15i - 14i + 6i^2}{49 + 9} = \frac{35 - 6 - 29i}{58} = \frac{29 - 29i}{58} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

$\tan \theta = \frac{-1/2}{1/2} = -1$

$0 \leq \theta < 2\pi$ より $\theta = \frac{7\pi}{4}$

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5. 複素数

$z = 1 + 2i$

$z^2 = (1+2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

$z^3 = z \cdot z^2 = (1+2i)(-3+4i) = -3 + 4i - 6i + 8i^2 = -3 - 8 - 2i = -11 - 2i$

$z^5 = z^2 \cdot z^3 = (-3 + 4i)(-11 - 2i) = 33 + 6i - 44i - 8i^2 = 33 + 8 - 38i = 41 - 38i$

$z = 1+2i, z^5 = 41-38i$

$\sin \angle AOB = \frac{| \text{Im}(\overline{z} z^5)|}{|z| |z^5|} = \frac{|(1-2i)(41-38i)|}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{41^2 + (-38)^2}} = \frac{|41 - 38i - 82i - 76|}{\sqrt{5}\sqrt{1681 + 1444}} = \frac{|-35 - 120i|}{\sqrt{5}\sqrt{3125}} = \frac{\sqrt{35^2 + 120^2}}{\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{1225 + 14400}}{125} = \frac{\sqrt{15625}}{125} = \frac{125}{125} = 1$

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6. 複素数

$\alpha = 1+i, \beta = (1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2})i$

$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{(1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2})i}{1+i} = \frac{((1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2})i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-\sqrt{2} + (1+\sqrt{2})i - (1-\sqrt{2})i + (1+\sqrt{2})}{2} = \frac{2 + \sqrt{2} + (2\sqrt{2})i}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}i$

$\alpha = 1+i$

$OAB$ の面積 $= \frac{1}{2}|(1)(1+\sqrt{2}) - (1-\sqrt{2})(1)| = \frac{1}{2} | 1 + \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2}| = \frac{1}{2}|2\sqrt{2}| = \sqrt{2}$

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7. 無限級数

$a_1 = \sqrt{3}-1, a_2 = 4-2\sqrt{3}$

公比 $r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(2\sqrt{3} + 2 - 3 - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{3} - 1$

$|r| = |\sqrt{3}-1| < 1$ なので収束する。

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a_1}{1-r} = \frac{\sqrt{3}-1}{1-(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{2-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3}-1)(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} + 3 - 2 - \sqrt{3}}{4-3} = \sqrt{3} + 1$

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3. 最終的な答え

1. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. $\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i$

3. $a = -64, b = 0$

4. $\theta = \frac{7\pi}{4}$

5. $z^3 = -11 - 2i$, $\sin \angle AOB = 1$

6. $\frac{\beta}{\alpha} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}i$, $\sqrt{2}$

7. $\sqrt{3} + 1$