$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値と最小値を $-\pi \le \theta \le \pi$ の範囲で求めます。

1. 問題の内容

$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値と最小値を $-\pi \le \theta \le \pi$ の範囲で求めます。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$R\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。ここで、$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$ です。

また、$\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ は $\alpha = -\frac{\pi}{3}$ です。

したがって、

$$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$$

$-\pi \le \theta \le \pi$ より、 $-\pi - \frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \pi - \frac{\pi}{3}$ なので、

$-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$ です。

$-1 \le \sin x \le 1$ なので、$-2 \le 2\sin x \le 2$ です。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = 1$ となるのは $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$ のときです。これは$-\pi \le \theta \le \pi$ の範囲に含まれます。最大値は $2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ です。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$ となるのは $\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$ のときです。これは$-\pi \le \theta \le \pi$ の範囲に含まれます。このとき$2\sin(-\frac{\pi}{2})=-2$ となります。

$\theta - \frac{\pi}{3}$ の範囲 $-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$ で、$\sin(\theta-\frac{\pi}{3})$ が最小となるのは $\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$ でない場合もあります。

$\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$ のとき $\theta = -\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = -\pi$ です。 $2\sin(-\frac{4\pi}{3}) = 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = 2\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ です。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ のとき $\theta = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$ です。 $2\sin(\frac{2\pi}{3}) = 2\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ です。

$\sin(\theta-\frac{\pi}{3})$ の最小値は $\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$ のとき $-1$ なので、 $2\sin(-\frac{\pi}{2}) = -2$ です。

したがって最大値は $2$、最小値は $-2$ です。

3. 最終的な答え

最大値：2

最小値：-2