与えられた不等式を証明します。 (1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x \ge x$ を証明します。 (2) $x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$ を証明します。ここで、$\log$ は自然対数（底が $e$）を表すものとします。

1. 問題の内容

与えられた不等式を証明します。

(1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x \ge x$ を証明します。

(2) $x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$ を証明します。ここで、$\log$ は自然対数（底が $e$）を表すものとします。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x) = \tan x - x$ を定義します。

$f'(x) = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x$ となります。

区間 $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ において、$f'(x) \ge 0$ なので、$f(x)$ は単調増加です。

$f(0) = \tan 0 - 0 = 0$ です。

したがって、$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ において、$f(x) \ge 0$ です。

つまり、$\tan x - x \ge 0$ となり、$\tan x \ge x$ が成り立ちます。

(2)

関数 $g(x) = 2\sqrt{x} - \log x - 2$ を定義します。

$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x}$ となります。

$g'(x) = 0$ となるのは、$x = 1$ のときです。

$0 < x < 1$ のとき、$g'(x) < 0$ なので、$g(x)$ は単調減少です。

$x > 1$ のとき、$g'(x) > 0$ なので、$g(x)$ は単調増加です。

したがって、$g(x)$ は $x = 1$ で最小値を持ちます。

$g(1) = 2\sqrt{1} - \log 1 - 2 = 2 - 0 - 2 = 0$ です。

したがって、$x > 0$ において、$g(x) \ge 0$ です。

つまり、$2\sqrt{x} - \log x - 2 \ge 0$ となり、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x \ge x$

(2) $x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$