関数 $f(x)$ と $g(x) = \sqrt{x}$ が互いに逆関数であるとき、以下の手順に従って $g(x)$ の導関数を求める。 (1) $f(x)$ を答えなさい。(理由は不要) (2) $u = \sqrt{x}$ とおくと、$f(u) = x$ となる。この式の両辺を $x$ で微分し、$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ を示しなさい。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x) = \sqrt{x}$ が互いに逆関数であるとき、以下の手順に従って $g(x)$ の導関数を求める。

(1) $f(x)$ を答えなさい。(理由は不要)

(2) $u = \sqrt{x}$ とおくと、$f(u) = x$ となる。この式の両辺を $x$ で微分し、$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ を示しなさい。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を求める。

$f(x)$ と $g(x)$ は互いに逆関数なので、$f(g(x)) = x$ が成り立つ。

$g(x) = \sqrt{x}$ なので、$f(\sqrt{x}) = x$ となる。

ここで、$y = \sqrt{x}$ とおくと、$x = y^2$ となる。

したがって、$f(y) = y^2$ である。よって、$f(x) = x^2$ である。

(2) $\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ を示す。

$u = \sqrt{x}$ とおくと、$f(u) = x$ より、$f(u) = u^2 = x$ となる。

この両辺を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} (u^2) = \frac{d}{dx} x$

$\frac{d}{du} (u^2) \cdot \frac{du}{dx} = 1$

$2u \cdot \frac{du}{dx} = 1$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2u}$

ここで、$u = \sqrt{x}$ なので、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^2$

(2) $\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$