次の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2})$

1. 問題の内容

次の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2})$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to \infty$ のとき、$\log x \to \infty$ かつ $x^2 \to \infty$ であるため、不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ となります。そこで、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2} = 0$

(2)

$x \to \infty$ のとき、$x^2 + 1 \to \infty$ かつ $xe^x \to \infty$ であるため、不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ となります。そこで、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x + xe^x}$

再び $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x + xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x + e^x + xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{2e^x + xe^x} = 0$

(3)

$\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2})$

ここで、$y = \arctan x$ とおくと、$x = \tan y$ です。

$x \to \infty$ のとき、$y \to \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、$z = \frac{\pi}{2} - y$ とおくと、$y = \frac{\pi}{2} - z$ であり、$x \to \infty$ のとき、$z \to 0$ となります。

$x = \tan y = \tan (\frac{\pi}{2} - z) = \cot z = \frac{\cos z}{\sin z}$

よって、

$\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2}) = \lim_{z \to 0} \frac{\cos z}{\sin z} (\frac{\pi}{2} - z - \frac{\pi}{2}) = \lim_{z \to 0} \frac{\cos z}{\sin z} (-z) = \lim_{z \to 0} \cos z \cdot \frac{-z}{\sin z}$

$\lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1$ より、 $\lim_{z \to 0} \frac{z}{\sin z} = 1$

$\lim_{z \to 0} \cos z = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2}) = 1 \cdot (-1) = -1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 0

(3) -1