垂直に上昇するエレベーターの高さ $H(t)$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $\frac{\Delta H}{\Delta t}$ は何を表すか。 (2) $\Delta H$ と $\Delta t$ を用いた $H$ の導関数の定義を記述する。 (3) $\frac{dH}{dt}$ は何を表すか、(2)を用いて説明する。

1. 問題の内容

垂直に上昇するエレベーターの高さ $H(t)$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $\frac{\Delta H}{\Delta t}$ は何を表すか。

(2) $\Delta H$ と $\Delta t$ を用いた $H$ の導関数の定義を記述する。

(3) $\frac{dH}{dt}$ は何を表すか、(2)を用いて説明する。

2. 解き方の手順

(1) $\Delta H = H(t + \Delta t) - H(t)$ は、時刻 $t$ から $t + \Delta t$ までのエレベーターの高さの変化を表します。したがって、$\frac{\Delta H}{\Delta t}$ は、時刻 $t$ から $t + \Delta t$ までの間のエレベーターの平均速度を表します。

(2) $H(t)$ の導関数 $H'(t)$ または $\frac{dH}{dt}$ は、以下の極限で定義されます。

$\frac{dH}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta H}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{H(t + \Delta t) - H(t)}{\Delta t}$

(3) $\frac{dH}{dt}$ は、時刻 $t$ におけるエレベーターの瞬間の速度を表します。(2)で示したように、$\frac{dH}{dt}$ は $\frac{\Delta H}{\Delta t}$ において、$\Delta t$ を限りなく0に近づけたときの極限値です。つまり、ある瞬間の速度を表します。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\Delta H}{\Delta t}$ は、時刻 $t$ から $t + \Delta t$ までの間のエレベーターの平均速度を表す。

(2) $\frac{dH}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta H}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{H(t + \Delta t) - H(t)}{\Delta t}$

(3) $\frac{dH}{dt}$ は、時刻 $t$ におけるエレベーターの瞬間の速度を表す。