不定積分 $\int \frac{x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 13x + 6}{x^3 - x^2 - 8x + 12} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 13x + 6}{x^3 - x^2 - 8x + 12} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分子と分母をそれぞれ因数分解します。

分母 $x^3 - x^2 - 8x + 12$ は、$x=2$ を代入すると $8 - 4 - 16 + 12 = 0$ となるので、$x-2$ を因数に持ちます。割り算を実行すると、

$x^3 - x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x^2 + x - 6) = (x-2)(x-2)(x+3) = (x-2)^2(x+3)$

となります。

次に、分子 $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 13x + 6$ を $(x-2)^2(x+3)$ で割ります。

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 13x + 6 = (x^3 - x^2 - 8x + 12)(x-1) + (x^2 + 5x + 18)$

したがって、

$\frac{x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 13x + 6}{x^3 - x^2 - 8x + 12} = x-1 + \frac{x^2 + 5x + 18}{(x-2)^2(x+3)}$

部分分数分解を行います。

$\frac{x^2 + 5x + 18}{(x-2)^2(x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^2} + \frac{C}{x+3}$

両辺に $(x-2)^2(x+3)$ を掛けて、

$x^2 + 5x + 18 = A(x-2)(x+3) + B(x+3) + C(x-2)^2$

$x=2$ を代入すると、$4 + 10 + 18 = 5B$ より $B = \frac{32}{5}$

$x=-3$ を代入すると、$9 - 15 + 18 = 25C$ より $C = \frac{12}{25}$

$x=0$ を代入すると、$18 = -6A + 3B + 4C = -6A + \frac{96}{5} + \frac{48}{25}$ より $6A = \frac{96}{5} + \frac{48}{25} - 18 = \frac{480 + 48 - 450}{25} = \frac{78}{25}$

$A = \frac{13}{25}$

したがって、

$\frac{x^2 + 5x + 18}{(x-2)^2(x+3)} = \frac{13}{25(x-2)} + \frac{32}{5(x-2)^2} + \frac{12}{25(x+3)}$

元の積分は、

$\int \left( x-1 + \frac{13}{25(x-2)} + \frac{32}{5(x-2)^2} + \frac{12}{25(x+3)} \right) dx$

$= \int (x-1) dx + \frac{13}{25} \int \frac{1}{x-2} dx + \frac{32}{5} \int \frac{1}{(x-2)^2} dx + \frac{12}{25} \int \frac{1}{x+3} dx$

$= \frac{x^2}{2} - x + \frac{13}{25} \ln |x-2| - \frac{32}{5(x-2)} + \frac{12}{25} \ln |x+3| + C$

$= \frac{x^2}{2} - x + \frac{13}{25} \ln |x-2| + \frac{12}{25} \ln |x+3| - \frac{32}{5(x-2)} + C$

$= \frac{x^2}{2} - x + \frac{1}{25} \ln |(x-2)^{13}(x+3)^{12}| - \frac{32}{5(x-2)} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} - x + \frac{13}{25}\ln|x-2| + \frac{12}{25}\ln|x+3| - \frac{32}{5(x-2)}$