## 問題の解答

## 問題の解答

問題の内容：

与えられた9つの2階線形常微分方程式の一般解を求める。

1. $\frac{d^2x}{dt^2} - 3\frac{dx}{dt} + 2x = 4e^{3t}$

2. $\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} + 3x = 3t^2 - t$

3. $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} - 2x = 10\cos{t}$

4. $\frac{d^2x}{dt^2} + 4x = 3\cos{2t}$

5. $\frac{d^2x}{dt^2} - 5\frac{dx}{dt} + 6x = e^{2t}$

6. $\frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + 2x = t^2 - t$

7. $\frac{d^2x}{dt^2} - 4\frac{dx}{dt} + 13x = e^{2t}$

8. $\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} - 3x = e^{-t}$

9. $\frac{d^2x}{dt^2} + x = 2\cos{t}$

### 解き方の手順：

各微分方程式に対して、以下の手順で一般解を求める。

1. **同次方程式の解を求める:**

与えられた微分方程式の右辺を0とした同次方程式を解く。

特性方程式を立て、その解を求める。

特性方程式の解の種類（実数解、複素数解、重解）に応じて、同次方程式の一般解を記述する。

2. **非同次方程式の特殊解を求める:**

未定係数法または定数変化法を用いて特殊解を求める。

未定係数法では、右辺の関数形に応じて適切な形の特殊解を仮定し、微分方程式に代入して係数を決定する。

定数変化法では、同次方程式の基本解を用いて特殊解を構成する。

3. **一般解を求める:**

同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解を足し合わせることで、与えられた微分方程式の一般解を得る。

以下に各問題に対する答えを示します。

1. 同次方程式：$\frac{d^2x}{dt^2} - 3\frac{dx}{dt} + 2x = 0$

特性方程式：$r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0$。

解：$r_1 = 1, r_2 = 2$。

同次解：$x_h = c_1 e^t + c_2 e^{2t}$。

特殊解を$x_p = Ae^{3t}$とおくと、$\frac{dx_p}{dt} = 3Ae^{3t}$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = 9Ae^{3t}$。

微分方程式に代入して、$9Ae^{3t} - 9Ae^{3t} + 2Ae^{3t} = 4e^{3t}$。

したがって、$2A = 4$、$A = 2$。

特殊解：$x_p = 2e^{3t}$。

一般解：$x = c_1 e^t + c_2 e^{2t} + 2e^{3t}$。

2. 同次方程式：$\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} + 3x = 0$

特性方程式：$r^2 - 2r + 3 = 0$。

解：$r = \frac{2 \pm \sqrt{4-12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{2}$。

同次解：$x_h = e^t (c_1 \cos{(\sqrt{2}t)} + c_2 \sin{(\sqrt{2}t)})$。

特殊解を$x_p = At^2 + Bt + C$とおくと、$\frac{dx_p}{dt} = 2At + B$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = 2A$。

微分方程式に代入して、$2A - 2(2At + B) + 3(At^2 + Bt + C) = 3t^2 - t$。

$3At^2 + (-4A + 3B)t + (2A - 2B + 3C) = 3t^2 - t$。

したがって、$3A = 3$、$A = 1$。$-4A + 3B = -1$、$3B = 3$、$B = 1$。

$2A - 2B + 3C = 0$、$2 - 2 + 3C = 0$、$C = 0$。

特殊解：$x_p = t^2 + t$。

一般解：$x = e^t (c_1 \cos{(\sqrt{2}t)} + c_2 \sin{(\sqrt{2}t)}) + t^2 + t$。

3. 同次方程式：$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} - 2x = 0$

特性方程式：$r^2 + r - 2 = (r+2)(r-1) = 0$。

解：$r_1 = -2, r_2 = 1$。

同次解：$x_h = c_1 e^{-2t} + c_2 e^t$。

特殊解を$x_p = A\cos{t} + B\sin{t}$とおくと、$\frac{dx_p}{dt} = -A\sin{t} + B\cos{t}$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -A\cos{t} - B\sin{t}$。

微分方程式に代入して、$-A\cos{t} - B\sin{t} - A\sin{t} + B\cos{t} - 2(A\cos{t} + B\sin{t}) = 10\cos{t}$。

$(-3A + B)\cos{t} + (-A - 3B)\sin{t} = 10\cos{t}$。

したがって、$-3A + B = 10$、$-A - 3B = 0$。$B = -A/3$。

$-3A - A/3 = 10$、$-10A/3 = 10$、$A = -3$、$B = 1$。

特殊解：$x_p = -3\cos{t} + \sin{t}$。

一般解：$x = c_1 e^{-2t} + c_2 e^t - 3\cos{t} + \sin{t}$。

4. 同次方程式：$\frac{d^2x}{dt^2} + 4x = 0$

特性方程式：$r^2 + 4 = 0$。

解：$r = \pm 2i$。

同次解：$x_h = c_1 \cos{2t} + c_2 \sin{2t}$。

特殊解を$x_p = At\cos{2t} + Bt\sin{2t}$とおくと、$\frac{dx_p}{dt} = A\cos{2t} - 2At\sin{2t} + B\sin{2t} + 2Bt\cos{2t}$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -4A\sin{2t} - 4At\cos{2t} + 4B\cos{2t} - 4Bt\sin{2t}$。

微分方程式に代入して、$-4A\sin{2t} - 4At\cos{2t} + 4B\cos{2t} - 4Bt\sin{2t} + 4(At\cos{2t} + Bt\sin{2t}) = 3\cos{2t}$。

$-4A\sin{2t} + 4B\cos{2t} = 3\cos{2t}$。

したがって、$-4A = 0$、$A = 0$。$4B = 3$、$B = 3/4$。

特殊解：$x_p = \frac{3}{4}t\sin{2t}$。

一般解：$x = c_1 \cos{2t} + c_2 \sin{2t} + \frac{3}{4}t\sin{2t}$。

5. 同次方程式：$\frac{d^2x}{dt^2} - 5\frac{dx}{dt} + 6x = 0$

特性方程式：$r^2 - 5r + 6 = (r-2)(r-3) = 0$

解：$r_1 = 2, r_2 = 3$

同次解：$x_h = c_1e^{2t} + c_2e^{3t}$

特殊解を$x_p = Ate^{2t}$とおくと、$\frac{dx_p}{dt} = Ae^{2t} + 2Ate^{2t}$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = 4Ae^{2t} + 4Ate^{2t}$。

微分方程式に代入して、$4Ae^{2t} + 4Ate^{2t} - 5(Ae^{2t} + 2Ate^{2t}) + 6Ate^{2t} = e^{2t}$。

$-Ae^{2t} = e^{2t}$、$A = -1$。

特殊解：$x_p = -te^{2t}$。

一般解：$x = c_1e^{2t} + c_2e^{3t} - te^{2t}$。

6. 同次方程式：$\frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + 2x = 0$

特性方程式：$r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2) = 0$

解：$r_1 = -1, r_2 = -2$

同次解：$x_h = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t}$

特殊解を$x_p = At^2 + Bt + C$とおくと、$\frac{dx_p}{dt} = 2At + B$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = 2A$。

微分方程式に代入して、$2A + 3(2At + B) + 2(At^2 + Bt + C) = t^2 - t$。

$2At^2 + (6A + 2B)t + (2A + 3B + 2C) = t^2 - t$。

したがって、$2A = 1$、$A = 1/2$。$6A + 2B = -1$、$3 + 2B = -1$、$2B = -4$、$B = -2$。

$2A + 3B + 2C = 0$、$1 - 6 + 2C = 0$、$2C = 5$、$C = 5/2$。

特殊解：$x_p = \frac{1}{2}t^2 - 2t + \frac{5}{2}$。

一般解：$x = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t} + \frac{1}{2}t^2 - 2t + \frac{5}{2}$。

7. 同次方程式：$\frac{d^2x}{dt^2} - 4\frac{dx}{dt} + 13x = 0$

特性方程式：$r^2 - 4r + 13 = 0$。

解：$r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = 2 \pm 3i$。

同次解：$x_h = e^{2t} (c_1\cos{3t} + c_2\sin{3t})$。

特殊解を$x_p = Ae^{2t}$とおくと、$\frac{dx_p}{dt} = 2Ae^{2t}$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = 4Ae^{2t}$。

微分方程式に代入して、$4Ae^{2t} - 8Ae^{2t} + 13Ae^{2t} = e^{2t}$。

$9Ae^{2t} = e^{2t}$、$A = 1/9$。

特殊解：$x_p = \frac{1}{9}e^{2t}$。

一般解：$x = e^{2t} (c_1\cos{3t} + c_2\sin{3t}) + \frac{1}{9}e^{2t}$。

8. 同次方程式：$\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} - 3x = 0$

特性方程式：$r^2 - 2r - 3 = (r-3)(r+1) = 0$。

解：$r_1 = 3, r_2 = -1$。

同次解：$x_h = c_1e^{3t} + c_2e^{-t}$。

特殊解を$x_p = Ate^{-t}$とおくと、$\frac{dx_p}{dt} = Ae^{-t} - Ate^{-t}$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -2Ae^{-t} + Ate^{-t}$。

微分方程式に代入して、$-2Ae^{-t} + Ate^{-t} - 2(Ae^{-t} - Ate^{-t}) - 3Ate^{-t} = e^{-t}$。

$-4Ae^{-t} = e^{-t}$、$A = -1/4$。

特殊解：$x_p = -\frac{1}{4}te^{-t}$。

一般解：$x = c_1e^{3t} + c_2e^{-t} - \frac{1}{4}te^{-t}$。

9. 同次方程式：$\frac{d^2x}{dt^2} + x = 0$

特性方程式：$r^2 + 1 = 0$

解：$r = \pm i$

同次解：$x_h = c_1\cos t + c_2\sin t$

特殊解を$x_p = A\cos t + B\sin t$とおくと、$\frac{dx_p}{dt} = -A\sin t + B\cos t$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -A\cos t - B\sin t$。

微分方程式に代入して、$-A\cos t - B\sin t + A\cos t + B\sin t = 2\cos t$これは解けない。

特殊解を$x_p = At\cos t + Bt\sin t$とおくと、$\frac{dx_p}{dt} = A\cos t - At\sin t + B\sin t + Bt\cos t$、$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -2A\sin t - At\cos t + 2B\cos t - Bt\sin t$。

微分方程式に代入して、$-2A\sin t - At\cos t + 2B\cos t - Bt\sin t + At\cos t + Bt\sin t = 2\cos t$

$-2A\sin t + 2B\cos t = 2\cos t$。

$A = 0$、$B = 1$

特殊解：$x_p = t\sin t$

一般解：$x = c_1\cos t + c_2\sin t + t\sin t$

### 最終的な答え

1. $x = c_1 e^t + c_2 e^{2t} + 2e^{3t}$

2. $x = e^t (c_1 \cos{(\sqrt{2}t)} + c_2 \sin{(\sqrt{2}t)}) + t^2 + t$

3. $x = c_1 e^{-2t} + c_2 e^t - 3\cos{t} + \sin{t}$

4. $x = c_1 \cos{2t} + c_2 \sin{2t} + \frac{3}{4}t\sin{2t}$

5. $x = c_1e^{2t} + c_2e^{3t} - te^{2t}$

6. $x = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t} + \frac{1}{2}t^2 - 2t + \frac{5}{2}$

7. $x = e^{2t} (c_1\cos{3t} + c_2\sin{3t}) + \frac{1}{9}e^{2t}$

8. $x = c_1e^{3t} + c_2e^{-t} - \frac{1}{4}te^{-t}$

9. $x = c_1\cos t + c_2\sin t + t\sin t$