次の極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x}$ (4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x}$

(4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to 1$ で分子も分母も 0 に近づくので、ロピタルの定理を使うことができます。

分子を $f(x) = x^3 - 4x^2 + 2x + 1$, 分母を $g(x) = x^5 - 1$ とすると、

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 2$

$g'(x) = 5x^4$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 8x + 2}{5x^4} = \frac{3 - 8 + 2}{5} = \frac{-3}{5}$

(2) $x \to 0$ で分子も分母も 0 に近づくので、ロピタルの定理を使うことができます。

分子を $f(x) = e^{2x} - 1$, 分母を $g(x) = 3x$ とすると、

$f'(x) = 2e^{2x}$

$g'(x) = 3$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{3} = \frac{2e^0}{3} = \frac{2}{3}$

別解として、$e^u - 1 \sim u$ （$u \to 0$ のとき）を利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

(3) $x \to 0$ で分子も分母も 0 に近づくので、ロピタルの定理を使うことができます。

分子を $f(x) = \log(1 + x^2)$, 分母を $g(x) = x$ とすると、

$f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$

$g'(x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{1 + x^2} = \frac{0}{1} = 0$

別解として、$\log(1 + u) \sim u$ （$u \to 0$ のとき）を利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0$

(4) $t = \pi - x$ とおくと、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$ となる。

$\sin x = \sin(\pi - t) = \sin t$

したがって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{5}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) $0$

(4) $1$