与えられた関数を微分する問題です。問題は4つあります。 (1) $y = \log{\frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}}$ (2) $y = \log{\frac{(x+1)^2}{x(x-1)}}$ (3) $y = \log{(x^4\sqrt{x^3}+1)}$ (4) $y = \log{(\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt{x^3})}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。問題は4つあります。

(1) $y = \log{\frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}}$

(2) $y = \log{\frac{(x+1)^2}{x(x-1)}}$

(3) $y = \log{(x^4\sqrt{x^3}+1)}$

(4) $y = \log{(\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt{x^3})}$

2. 解き方の手順

対数の性質と合成関数の微分法を利用して解きます。

対数の性質として、$\log{\frac{A}{B}} = \log{A} - \log{B}$、$\log{A^n} = n\log{A}$を利用します。

合成関数の微分法として、$\frac{d}{dx}\log{f(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)}$を利用します。

(1)

$y = \log{(x+1)^2} - \log{(x-1)^3} = 2\log{(x+1)} - 3\log{(x-1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) - 3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x-2-3x-3}{x^2-1} = \frac{-x-5}{x^2-1}$

(2)

$y = \log{(x+1)^2} - \log{x} - \log{(x-1)} = 2\log{(x+1)} - \log{x} - \log{(x-1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{2x(x-1) - (x+1)(x-1) - x(x+1)}{x(x+1)(x-1)} = \frac{2x^2-2x - (x^2-1) - (x^2+x)}{x(x^2-1)} = \frac{2x^2-2x-x^2+1-x^2-x}{x(x^2-1)} = \frac{-3x+1}{x(x^2-1)} = \frac{-3x+1}{x^3-x}$

(3)

$y = \log{(x^4\sqrt{x^3}+1)} = \log{(x^4 x^{3/2}+1)} = \log{(x^{11/2}+1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{11}{2}x^{9/2}}{x^{11/2}+1} = \frac{11x^{9/2}}{2(x^{11/2}+1)}$

(4)

$y = \log{(\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt{x^3})} = \log{((x^2+1)^{1/3}x^{3/2})} = \log{(x^2+1)^{1/3}} + \log{x^{3/2}} = \frac{1}{3}\log{(x^2+1)} + \frac{3}{2}\log{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}\frac{2x}{x^2+1} + \frac{3}{2}\frac{1}{x} = \frac{2x}{3(x^2+1)} + \frac{3}{2x} = \frac{4x^2 + 9(x^2+1)}{6x(x^2+1)} = \frac{4x^2 + 9x^2+9}{6x(x^2+1)} = \frac{13x^2+9}{6x(x^2+1)} = \frac{13x^2+9}{6x^3+6x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x-5}{x^2-1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-3x+1}{x^3-x}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{11x^{9/2}}{2(x^{11/2}+1)}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{13x^2+9}{6x^3+6x}$