与えられた微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = x$ について、以下の2つの問いに答える。 (1) 関数 $x = C_1e^t + C_2e^{-t}$ ($C_1, C_2$ は任意定数)が一般解であることを証明する。 (2) 初期条件 $t=0$ のとき $x=1$、$\frac{dx}{dt}=3$ を満たす解を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = x$ について、以下の2つの問いに答える。

(1) 関数 $x = C_1e^t + C_2e^{-t}$ ($C_1, C_2$ は任意定数)が一般解であることを証明する。

(2) 初期条件 $t=0$ のとき $x=1$、$\frac{dx}{dt}=3$ を満たす解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 一般解であることの証明：

与えられた関数 $x = C_1e^t + C_2e^{-t}$ が微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = x$ を満たすことを示す。

まず、$x$ を $t$ で一度微分する。

$\frac{dx}{dt} = C_1e^t - C_2e^{-t}$

次に、$\frac{dx}{dt}$ を $t$ で微分する。

$\frac{d^2x}{dt^2} = C_1e^t + C_2e^{-t}$

ここで、$\frac{d^2x}{dt^2}$ は $x$ と同じ形であるため、$\frac{d^2x}{dt^2} = x$ が成り立つ。

したがって、$x = C_1e^t + C_2e^{-t}$ は与えられた微分方程式の解である。

また、$C_1$と$C_2$は任意の定数であるため、これは一般解である。

(2) 初期条件を満たす解の導出：

初期条件 $t=0$ のとき $x=1$、$\frac{dx}{dt}=3$ を用いて、$C_1$ と $C_2$ の値を決定する。

まず、$x = C_1e^t + C_2e^{-t}$ に $t=0$、 $x=1$ を代入する。

$1 = C_1e^0 + C_2e^0 = C_1 + C_2$

次に、$\frac{dx}{dt} = C_1e^t - C_2e^{-t}$ に $t=0$、$\frac{dx}{dt}=3$ を代入する。

$3 = C_1e^0 - C_2e^0 = C_1 - C_2$

連立方程式 $C_1 + C_2 = 1$ と $C_1 - C_2 = 3$ を解く。

2つの式を足すと $2C_1 = 4$ より $C_1 = 2$。

$C_1 + C_2 = 1$ に $C_1 = 2$ を代入すると $2 + C_2 = 1$ より $C_2 = -1$。

したがって、$C_1 = 2$、$C_2 = -1$ であるため、初期条件を満たす解は $x = 2e^t - e^{-t}$。

3. 最終的な答え

(1) $x = C_1e^t + C_2e^{-t}$ は微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = x$ の一般解である。（証明済み）

(2) 初期条件を満たす解は $x = 2e^t - e^{-t}$。