以下の3つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 2x - 1}{x^2}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4}$

はい、承知いたしました。与えられた3つの極限値を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 2x - 1}{x^2}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2}$

分子と分母に $x=1$ を代入すると、どちらも0となるので、不定形 $\frac{0}{0}$ です。

$x-1$ で約分できることが予想できます。

分子を因数分解します。

$x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x^2-1)(x-1) = (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)^2(x+1)$

分母を因数分解します。

$x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2$

$x=1$ を代入すると0になるので、$x-1$ を因数に持ちます。組み立て除法を用いると、

$x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2 = (x-1)(x^3 - x^2 + 2x - 2)$

さらに、$x^3 - x^2 + 2x - 2$ に $x=1$ を代入すると0になるので、$x-1$ を因数に持ちます。

$x^3 - x^2 + 2x - 2 = (x-1)(x^2 + 2)$

したがって、

$x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2 = (x-1)(x-1)(x^2+2) = (x-1)^2(x^2+2)$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2(x+1)}{(x-1)^2(x^2+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x^2+2} = \frac{1+1}{1^2+2} = \frac{2}{3}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 2x - 1}{x^2}$

$x=0$ を代入すると$\frac{0}{0}$となる不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 2x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} - 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$

再び$x=0$を代入すると$\frac{0}{0}$となるので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2e^{2 \cdot 0} = 2$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4}$

$x=0$を代入すると$\frac{0}{0}$となる不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin x + 2x}{4x^3}$

再び$x=0$を代入すると$\frac{0}{0}$となるので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin x + 2x}{4x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\cos x + 2}{12x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x + 1}{6x^2}$

再び$x=0$を代入すると$\frac{0}{0}$となるので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x + 1}{6x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{12x}$

再び$x=0$を代入すると$\frac{0}{0}$となるので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{12x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{12} = \frac{\cos 0}{12} = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $2$

(3) $\frac{1}{12}$