関数 $y = A\sin(2x)$ が微分方程式 $y'' + 3y = 10\sin(2x)$ を満たすように、定数 $A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = A\sin(2x)$ が微分方程式 $y'' + 3y = 10\sin(2x)$ を満たすように、定数 $A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = A\sin(2x)$ を微分して、$y'$ と $y''$ を求めます。

$y' = \frac{d}{dx} (A\sin(2x)) = 2A\cos(2x)$

$y'' = \frac{d}{dx} (2A\cos(2x)) = -4A\sin(2x)$

次に、$y''$ と $y$ を微分方程式 $y'' + 3y = 10\sin(2x)$ に代入します。

$-4A\sin(2x) + 3(A\sin(2x)) = 10\sin(2x)$

整理すると、

$-4A\sin(2x) + 3A\sin(2x) = 10\sin(2x)$

$-A\sin(2x) = 10\sin(2x)$

両辺を $\sin(2x)$ で割ると（$\sin(2x) \neq 0$ の範囲で）、

$-A = 10$

したがって、$A = -10$

3. 最終的な答え

$A = -10$