与えられた問題は、実数 $k$ を定数とする、$\theta$ の方程式 $\tan \theta = k$ (①) と、$\theta$ の不等式 $2 \cos \theta + 1 \geq 0$ (②) に関する問題です。 (1) $k=1$ のとき、 $0 \leq \theta < 2\pi$ において、方程式①を解きます。 (2) $0 \leq \theta < 2\pi$ において、不等式②を解きます。 (3) $0 \leq \theta < 2\pi$ における方程式①の解が2個あるとき、その2個の解の和が $\frac{4}{3}\pi$ となるような $k$ の値を求めます。 (4) 不等式②を満たす$\theta$の範囲において、方程式①の解が2個あるとき、それらを$\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とします。 　(i) $k$ のとり得る値の範囲を求めます。 　(ii) $\alpha + \beta \geq \frac{7}{4}\pi$ となるような $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、実数 $k$ を定数とする、$\theta$ の方程式 $\tan \theta = k$ (①) と、$\theta$ の不等式 $2 \cos \theta + 1 \geq 0$ (②) に関する問題です。

(1) $k=1$ のとき、 $0 \leq \theta < 2\pi$ において、方程式①を解きます。

(2) $0 \leq \theta < 2\pi$ において、不等式②を解きます。

(3) $0 \leq \theta < 2\pi$ における方程式①の解が2個あるとき、その2個の解の和が $\frac{4}{3}\pi$ となるような $k$ の値を求めます。

(4) 不等式②を満たす$\theta$の範囲において、方程式①の解が2個あるとき、それらを$\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とします。

　(i) $k$ のとり得る値の範囲を求めます。

　(ii) $\alpha + \beta \geq \frac{7}{4}\pi$ となるような $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $k=1$のとき、$\tan \theta = 1$ を解きます。$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan \theta = 1$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ です。

(2) $2 \cos \theta + 1 \geq 0$ より、$\cos \theta \geq -\frac{1}{2}$ です。$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲でこれを満たす $\theta$ の範囲は、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めると、$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ です。

したがって、$\theta$ の範囲は $0 \leq \theta \leq \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{4\pi}{3} \leq \theta < 2\pi$ です。

(3) $\tan \theta = k$ の解が2個存在し、その和が $\frac{4\pi}{3}$ となる $k$ の値を求める問題です。$\tan \theta$ の周期は $\pi$ なので、解の一つを $\alpha$ とすると、もう一つの解は $\alpha + \pi$ と表せます。したがって、$\alpha + (\alpha + \pi) = \frac{4\pi}{3}$ となります。

$2\alpha + \pi = \frac{4\pi}{3}$ より、$2\alpha = \frac{\pi}{3}$ となり、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。

このとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$ が解となるので、$k = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

(4)

(i) $2\cos\theta+1 \ge 0$ より $\cos\theta \ge -1/2$ であり、$\tan \theta = k$ が２つの解を持つ条件を考えます。 $0 \le \theta \le \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{4\pi}{3} \le \theta < 2\pi$ の範囲で、$\tan \theta$ がとりうる値を考える必要があります。$\theta = \frac{2\pi}{3}$ のとき、$\tan \theta = -\sqrt{3}$, $\theta = \frac{4\pi}{3}$ のとき、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となります。よって $-\sqrt{3} \le k$ かつ $k < 0$ または $0 \le k$ という条件だけでは不十分です。$\tan \theta$ は周期 $\pi$ を持つので、$0 \le \theta \le \frac{2\pi}{3}$ で1つ、$\frac{4\pi}{3} \le \theta < 2\pi$ で1つ解を持ちます。よってすべての実数 $k$ に対して2つの解を持ちます。但し、$2\cos \theta+1 \ge 0$ を満たす必要があります。$tan \theta$ の取りうる値の範囲は $k \ge -\sqrt{3}$ です。

(ii) $\alpha + \beta \geq \frac{7}{4}\pi$ となるような $k$ の値の範囲を求めます。$\alpha + \beta = \alpha + (\alpha + \pi) = 2\alpha + \pi \geq \frac{7}{4}\pi$ より、$2\alpha \geq \frac{3}{4}\pi$ 、$\alpha \geq \frac{3}{8}\pi$ です。よって $\theta=\frac{3\pi}{8}$ のとき, $k = \tan \frac{3\pi}{8} \le \tan \alpha$ です。

半角の公式より, $\tan \frac{3\pi}{8} = \tan \frac{1}{2}(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1 - \cos \frac{3\pi}{4}}{\sin \frac{3\pi}{4}} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1$

よって $k \ge -\sqrt{3}$と合わせて、$k \geq -\sqrt{3}$ かつ $k \leq \sqrt{2}+1$ である必要があります。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

(2) $0 \leq \theta \leq \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{4\pi}{3} \leq \theta < 2\pi$

(3) $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(4) (i) $k \geq -\sqrt{3}$

　(ii) $-\sqrt{3} \leq k \leq 1+\sqrt{2}$