$f(x)$ を $x$ の2次関数とし、放物線 $y = f(x)$ を $C$ とする。$f'(x) = 2x - 4$ であり、$C$ は点 $(0, 5)$ を通る。以下の問いに答えよ。 (1) $f(x)$ を求めよ。 (2) $C$ 上の点 $(1, f(1))$ における $C$ の接線の傾きを求めよ。 (3) (2)の接線に垂直で点 $(1, f(1))$ を通る直線 $l$ の方程式を求めよ。 (4) $0 \leq x \leq 1$ の範囲で、$C$ と $l$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x)$ を $x$ の2次関数とし、放物線 $y = f(x)$ を $C$ とする。$f'(x) = 2x - 4$ であり、$C$ は点 $(0, 5)$ を通る。以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ を求めよ。

(2) $C$ 上の点 $(1, f(1))$ における $C$ の接線の傾きを求めよ。

(3) (2)の接線に垂直で点 $(1, f(1))$ を通る直線 $l$ の方程式を求めよ。

(4) $0 \leq x \leq 1$ の範囲で、$C$ と $l$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x) = 2x - 4$ を積分すると、

$f(x) = \int (2x - 4) dx = x^2 - 4x + C_1$ ($C_1$ は積分定数)

$C$ は点 $(0, 5)$ を通るので、$f(0) = 5$。

$f(0) = 0^2 - 4(0) + C_1 = C_1 = 5$

よって、$f(x) = x^2 - 4x + 5$

(2) $f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2$

点 $(1, f(1)) = (1, 2)$ における接線の傾きは $f'(1)$ で与えられる。

$f'(1) = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2$

(3) 接線に垂直な直線の傾きは、接線の傾きの逆数に $-1$ を掛けたものである。

接線の傾きは $-2$ なので、垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$

垂直な直線 $l$ は点 $(1, 2)$ を通るので、直線 $l$ の方程式は、

$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

(4) $0 \leq x \leq 1$ の範囲で、$C$ と $l$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積は、$\int_0^1 ((\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}) - (x^2 - 4x + 5))dx$ で与えられる。

$\int_0^1 (\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - x^2 + 4x - 5)dx = \int_0^1 (-x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{7}{2})dx$

$= [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{7}{2}x]_0^1$

$= -\frac{1}{3} + \frac{9}{4} - \frac{7}{2} = \frac{-4 + 27 - 42}{12} = \frac{-19}{12}$

面積は負にならないので、絶対値を取って $\frac{19}{12}$

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 5

ウエ: -2

オ: 1

カ: 2

キ: 3

ク: 2

ケコ: 19

サシ: 12