次の広義積分の収束・発散を調べます。 $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx$

1. 問題の内容

次の広義積分の収束・発散を調べます。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx$

2. 解き方の手順

与えられた積分を2つの部分に分割します。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx = \int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx + \int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x dx$

それぞれの積分が収束するかどうかを調べます。

まず、$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx$ を調べます。部分積分法を用います。

$u = x$, $dv = e^{-2x}dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx = \left[-\frac{1}{2}xe^{-2x}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -\frac{1}{2}e^{-2x} dx = \left[-\frac{1}{2}xe^{-2x}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx$

$\lim_{x\to\infty} -\frac{1}{2}xe^{-2x} = 0$ であり、$-\frac{1}{2}(0)e^{-2(0)} = 0$ なので、

$\left[-\frac{1}{2}xe^{-2x}\right]_{0}^{\infty} = 0$

$\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2}\left(0 - (-\frac{1}{2})\right) = \frac{1}{4}$

よって、$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx = \frac{1}{4}$

次に、$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x dx$ を調べます。部分積分法を2回用います。

$u = x$, $dv = e^{-2x}\cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \int e^{-2x}\cos x dx$

$I = \int e^{-2x}\cos x dx$ を計算するため、再度部分積分を行います。

$u = \cos x$, $dv = e^{-2x} dx$ とすると、$du = -\sin x dx$, $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

$I = -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x - \int -\frac{1}{2}e^{-2x}(-\sin x) dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x - \frac{1}{2}\int e^{-2x}\sin x dx$

$J = \int e^{-2x}\sin x dx$ を計算するため、再度部分積分を行います。

$u = \sin x$, $dv = e^{-2x} dx$ とすると、$du = \cos x dx$, $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

$J = -\frac{1}{2}e^{-2x}\sin x - \int -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\sin x + \frac{1}{2}\int e^{-2x}\cos x dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\sin x + \frac{1}{2}I$

$I = -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}e^{-2x}\sin x + \frac{1}{2}I)$

$I = -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{4}e^{-2x}\sin x - \frac{1}{4}I$

$\frac{5}{4}I = -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{4}e^{-2x}\sin x$

$I = \frac{4}{5}(-\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{4}e^{-2x}\sin x) = -\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x$

よって、$v = -\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x dx = \left[x(-\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x) dx$

$\lim_{x\to\infty} x(-\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x) = 0$ であり、$0(-\frac{2}{5}e^{0}\cos 0 + \frac{1}{5}e^{0}\sin 0) = 0$ なので、$\left[x(-\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x)\right]_{0}^{\infty} = 0$

$\int_{0}^{\infty} (-\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x) dx = -\frac{2}{5}\int_{0}^{\infty} e^{-2x}\cos x dx + \frac{1}{5}\int_{0}^{\infty} e^{-2x}\sin x dx$

$= -\frac{2}{5}\left[\frac{-2e^{-2x}\cos x + e^{-2x}\sin x}{5}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{5}\left[\frac{-2e^{-2x}\sin x - e^{-2x}\cos x}{5}\right]_{0}^{\infty}$

$= -\frac{2}{5}(\frac{2}{5}) + \frac{1}{5}(\frac{1}{5}) = -\frac{4}{25} + \frac{1}{25} = -\frac{3}{25}$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x dx = - (-\frac{3}{25}) = \frac{3}{25}$

したがって、$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx = \frac{1}{4} + \frac{3}{25} = \frac{25 + 12}{100} = \frac{37}{100}$

広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx$ は収束します。

3. 最終的な答え

収束する