次の2つの関数を微分する問題です。 (10) $y = \sin^3(3x+1)$ (12) $y = \frac{1-3\sin x}{2\cos x}$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(10) $y = \sin^3(3x+1)$

(12) $y = \frac{1-3\sin x}{2\cos x}$

2. 解き方の手順

(10) $y = \sin^3(3x+1)$

この関数は合成関数の形をしているので、合成関数の微分法を使います。

まず、$u = 3x+1$、$v = \sin u$、$y = v^3$ と置きます。

すると、$\frac{du}{dx} = 3$、$\frac{dv}{du} = \cos u$、$\frac{dy}{dv} = 3v^2$ となります。

合成関数の微分法より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3v^2 \cdot \cos u \cdot 3 = 9\sin^2(3x+1)\cos(3x+1)$

(12) $y = \frac{1-3\sin x}{2\cos x}$

この関数は商の形をしているので、商の微分法を使います。

$u = 1-3\sin x$、$v = 2\cos x$ と置きます。

すると、$\frac{du}{dx} = -3\cos x$、$\frac{dv}{dx} = -2\sin x$ となります。

商の微分法より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} = \frac{2\cos x(-3\cos x) - (1-3\sin x)(-2\sin x)}{(2\cos x)^2}$

$= \frac{-6\cos^2 x + 2\sin x - 6\sin^2 x}{4\cos^2 x} = \frac{-6(\cos^2 x + \sin^2 x) + 2\sin x}{4\cos^2 x}$

$= \frac{-6 + 2\sin x}{4\cos^2 x} = \frac{-3 + \sin x}{2\cos^2 x}$

3. 最終的な答え

(10) の答え：$\frac{dy}{dx} = 9\sin^2(3x+1)\cos(3x+1)$

(12) の答え：$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x - 3}{2\cos^2 x}$