与えられた不定積分を計算します。 (7) $\int x \sin x \, dx$ (8) $\int \cos(5x-5) \, dx$ (9) $\int x e^{x^2} \, dx$

わかりました。画像にある問題のうち、7, 8, 9 の不定積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。

(7) $\int x \sin x \, dx$

(8) $\int \cos(5x-5) \, dx$

(9) $\int x e^{x^2} \, dx$

2. 解き方の手順

(7) $\int x \sin x \, dx$

部分積分を用いて計算します。$u = x$ と $dv = \sin x \, dx$ とおくと、$du = dx$、$v = -\cos x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

(8) $\int \cos(5x-5) \, dx$

置換積分を用いて計算します。$u = 5x-5$ とおくと、$du = 5 \, dx$、したがって $dx = \frac{1}{5} \, du$ となります。

$\int \cos(5x-5) \, dx = \int \cos u \cdot \frac{1}{5} \, du = \frac{1}{5} \int \cos u \, du = \frac{1}{5} \sin u + C = \frac{1}{5} \sin(5x-5) + C$

(9) $\int x e^{x^2} \, dx$

置換積分を用いて計算します。$u = x^2$ とおくと、$du = 2x \, dx$、したがって $x \, dx = \frac{1}{2} \, du$ となります。

$\int x e^{x^2} \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

3. 最終的な答え

(7) $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

(8) $\int \cos(5x-5) \, dx = \frac{1}{5} \sin(5x-5) + C$

(9) $\int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$