自然数 $n$ に対して、$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ とおく。 問1: 定積分 $I_1$, $I_2$, $I_3$ を求めよ。 問2: 不等式 $I_n \geq I_{n+1}$ を証明するための空欄アを埋めよ。 問3: 不等式 $I_n \geq I_{n+1}$ を証明するための空欄イを埋めよ。 問4: 漸化式 $I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}I_n$ を証明する過程における空欄ウ、エを埋めよ。 問5: 極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ とおく。

問1: 定積分 $I_1$, $I_2$, $I_3$ を求めよ。

問2: 不等式 $I_n \geq I_{n+1}$ を証明するための空欄アを埋めよ。

問3: 不等式 $I_n \geq I_{n+1}$ を証明するための空欄イを埋めよ。

問4: 漸化式 $I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}I_n$ を証明する過程における空欄ウ、エを埋めよ。

問5: 極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問1:

$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$

$I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = [\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

$I_3 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \sin x \cos^2 x) \, dx = [-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (0 + 0) - (-1 + \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、$I_1 = 1, I_2 = \frac{\pi}{4}, I_3 = \frac{2}{3}$

問2:

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ において $0 \leq \sin x \leq 1$ であるから、$0 \leq \sin^{n+1} x \leq \sin^n x$ が成り立つ。したがって、$I_{n+1} \leq I_n$ が成り立つ。

問3:

$I_{n+1} \leq I_n$ より、$0 < \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x \, dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$

問4:

$I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x \cdot \sin x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x (-\cos x)' \, dx = [\sin^{n+1} x (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (n+1)\sin^n x \cos x (-\cos x) \, dx = 0 + (n+1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \cos^2 x \, dx = (n+1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x (1 - \sin^2 x) \, dx = (n+1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx - (n+1) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+2} x \, dx = (n+1) I_n - (n+1) I_{n+2}$.

よって、$I_{n+2} = (n+1) I_n - (n+1) I_{n+2}$. これより、$(n+2) I_{n+2} = (n+1) I_n$ となるので、$I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n$ が成り立つ。

したがって、ウは $n+1$, エは $n+1$ である。

問5:

$I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n$ より、$I_{2n+2} = \frac{2n+1}{2n+2} I_{2n}$ および $I_{2n+3} = \frac{2n+2}{2n+3} I_{2n+1}$。

$I_{2n+1}/I_{2n} = \frac{2n}{2n+1} \dots \frac{2}{3} I_1 / (\frac{2n-1}{2n} \dots \frac{1}{2} I_0) \rightarrow 0$

3. 最終的な答え

問1: (c) $I_1 = 1, I_2 = \frac{\pi}{4}, I_3 = \frac{2}{3}$

問2: (d) $0 \leq \sin^{n+1} x \leq \sin^n x$

問3: (c) $0 < \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x \, dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$

問4: (a) ウ: $n+1$, エ: $n+1$

問5: (a) $0$