(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x$ の値を求める。ここで、$\cosh x$ と $\sinh x$ はそれぞれ双曲余弦関数と双曲正弦関数を表す。 (2) 不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2+12x+25}}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x$ の値を求める。ここで、$\cosh x$ と $\sinh x$ はそれぞれ双曲余弦関数と双曲正弦関数を表す。

(2) 不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2+12x+25}}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 双曲線関数の定義より、$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ かつ $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ である。したがって、

\begin{align*} \cosh^2 x - \sinh^2 x &= \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 \\ &= \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} \\ &= \frac{4}{4} \\ &= 1 \end{align*}

(2) まず、積分の中の式を平方完成する。

$$4x^2+12x+25 = 4(x^2+3x) + 25 = 4(x^2+3x+\frac{9}{4}) - 9 + 25 = 4(x+\frac{3}{2})^2 + 16 = 4\left[\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 + 4\right]$$

したがって、積分は

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2+12x+25}} = \int \frac{dx}{\sqrt{4(x+\frac{3}{2})^2+16}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{3}{2})^2+4}}$$

ここで、$x+\frac{3}{2} = 2\sinh u$ と置換すると、$dx = 2\cosh u du$ である。

すると、

\begin{align*} \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{3}{2})^2+4}} &= \frac{1}{2} \int \frac{2\cosh u}{\sqrt{4\sinh^2 u+4}} du \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{2\cosh u}{2\sqrt{\sinh^2 u+1}} du \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{2\cosh u}{2\cosh u} du \\ &= \frac{1}{2} \int du \\ &= \frac{1}{2} u + C \end{align*}

ここで、$x+\frac{3}{2} = 2\sinh u$ より、$\sinh u = \frac{x+\frac{3}{2}}{2} = \frac{2x+3}{4}$ なので、$u = \sinh^{-1} \left(\frac{2x+3}{4}\right)$ となる。

したがって、積分は

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2+12x+25}} = \frac{1}{2} \sinh^{-1} \left(\frac{2x+3}{4}\right) + C$$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{1}{2} \sinh^{-1} \left(\frac{2x+3}{4}\right) + C$