関数 $f(x) = x^2 \log(e^x + 1)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \log(e^x + 1)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ は $x^2$ と $\log(e^x + 1)$ の積で表されているので、積の微分公式を用いる。

積の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ である。

$u(x) = x^2$ と $v(x) = \log(e^x + 1)$ とおく。

$u'(x) = 2x$ である。

$v'(x)$ を求めるには、合成関数の微分公式を用いる。

$v(x) = \log(w(x))$ とおくと、$w(x) = e^x + 1$ である。

合成関数の微分公式は、

$(\log(w(x)))' = \frac{w'(x)}{w(x)}$ である。

$w'(x) = e^x$ であるから、

$v'(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ となる。

したがって、$f'(x)$ は、

$f'(x) = 2x \log(e^x + 1) + x^2 \frac{e^x}{e^x + 1}$

と表される。

3. 最終的な答え

$f'(x) = 2x \log(e^x + 1) + \frac{x^2 e^x}{e^x + 1}$