次の広義積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$ (2) $\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x}}$ (3) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

1. 問題の内容

次の広義積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$

(2) $\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x}}$

(3) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$

これは広義積分であり、$x=0$ で被積分関数が定義されていません。部分積分を使って計算します。

$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

よって、

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} x \log x \, dx = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} x \log x \, dx = \lim_{a \to +0} \left[ \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right]_a^1 = \left( \frac{1}{2} \log 1 - \frac{1}{4} \right) - \lim_{a \to +0} \left( \frac{a^2}{2} \log a - \frac{a^2}{4} \right) = -\frac{1}{4} - \lim_{a \to +0} \frac{a^2}{2} \log a$

$\lim_{a \to +0} a^2 \log a = 0$ であるので、

$\int_{0}^{1} x \log x \, dx = -\frac{1}{4}$

(2) $\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x}}$

これも広義積分であり、$x=0$ で被積分関数が定義されていません。

$\int_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{2} x^{-1/2} \, dx = \lim_{a \to +0} \left[ 2x^{1/2} \right]_a^2 = \lim_{a \to +0} (2\sqrt{2} - 2\sqrt{a}) = 2\sqrt{2} - 0 = 2\sqrt{2}$

(3) $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

これも広義積分であり、$x=0$ で被積分関数が定義されていません。

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = \int_{-1}^{0} x^{-2/3} \, dx + \int_{0}^{1} x^{-2/3} \, dx = \lim_{b \to -0} \int_{-1}^{b} x^{-2/3} \, dx + \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} x^{-2/3} \, dx$

$\int x^{-2/3} \, dx = 3x^{1/3} + C$ であるので、

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = \lim_{b \to -0} \left[ 3x^{1/3} \right]_{-1}^b + \lim_{a \to +0} \left[ 3x^{1/3} \right]_a^1 = \lim_{b \to -0} (3\sqrt[3]{b} - 3\sqrt[3]{-1}) + \lim_{a \to +0} (3\sqrt[3]{1} - 3\sqrt[3]{a}) = (0 - 3(-1)) + (3 - 0) = 3 + 3 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{4}$

(2) $2\sqrt{2}$

(3) $6$