与えられた積分公式 $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C$ を用いて、以下の不定積分を計算します。 問題1: (1) $\int (x+8)^4 dx$ (2) $\int (\frac{1}{2}x+4)^3 dx$ 問題2: (1) $\int (x+2)^4 dx$ (2) $\int (\frac{1}{4}x-3)^3 dx$

1. 問題の内容

与えられた積分公式 $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C$ を用いて、以下の不定積分を計算します。

問題1:

(1) $\int (x+8)^4 dx$

(2) $\int (\frac{1}{2}x+4)^3 dx$

問題2:

(1) $\int (x+2)^4 dx$

(2) $\int (\frac{1}{4}x-3)^3 dx$

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $\int (x+8)^4 dx$

公式の $a=1$, $b=8$, $n=4$ を代入すると、

$\int (x+8)^4 dx = \frac{1}{1(4+1)}(x+8)^{4+1} + C = \frac{1}{5}(x+8)^5 + C$

(2) $\int (\frac{1}{2}x+4)^3 dx$

公式の $a=\frac{1}{2}$, $b=4$, $n=3$ を代入すると、

$\int (\frac{1}{2}x+4)^3 dx = \frac{1}{\frac{1}{2}(3+1)}(\frac{1}{2}x+4)^{3+1} + C = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}x+4)^4 + C$

問題2:

(1) $\int (x+2)^4 dx$

公式の $a=1$, $b=2$, $n=4$ を代入すると、

$\int (x+2)^4 dx = \frac{1}{1(4+1)}(x+2)^{4+1} + C = \frac{1}{5}(x+2)^5 + C$

(2) $\int (\frac{1}{4}x-3)^3 dx$

公式の $a=\frac{1}{4}$, $b=-3$, $n=3$ を代入すると、

$\int (\frac{1}{4}x-3)^3 dx = \frac{1}{\frac{1}{4}(3+1)}(\frac{1}{4}x-3)^{3+1} + C = \frac{1}{1/4 *4}(\frac{1}{4}x-3)^4 + C = (\frac{1}{4}x-3)^4 + C$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $\frac{1}{5}(x+8)^5 + C$

(2) $2(\frac{1}{2}x+4)^4 + C$

問題2:

(1) $\frac{1}{5}(x+2)^5 + C$

(2) $(\frac{1}{4}x-3)^4 + C$