与えられた3つの広義積分の値を計算します。 (i) $\int_0^1 x \log x \, dx$ (ii) $\int_0^5 \frac{1}{\sqrt{5-x}} \, dx$ (iii) $\int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの広義積分の値を計算します。

(i) $\int_0^1 x \log x \, dx$

(ii) $\int_0^5 \frac{1}{\sqrt{5-x}} \, dx$

(iii) $\int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int_0^1 x \log x \, dx$

これは $x=0$ で被積分関数が定義されない広義積分です。部分積分を使って解きます。

$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると, $du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ です。

したがって,

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

よって,

$\int_0^1 x \log x \, dx = \lim_{a \to +0} \int_a^1 x \log x \, dx = \lim_{a \to +0} \left[ \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right]_a^1 = \left( \frac{1}{2} \log 1 - \frac{1}{4} \right) - \lim_{a \to +0} \left( \frac{a^2}{2} \log a - \frac{a^2}{4} \right) = -\frac{1}{4} - \lim_{a \to +0} \frac{a^2}{2} \log a$

ここで, $\lim_{a \to +0} a^2 \log a = 0$ なので,

$\int_0^1 x \log x \, dx = -\frac{1}{4}$.

(ii) $\int_0^5 \frac{1}{\sqrt{5-x}} \, dx$

これは $x=5$ で被積分関数が定義されない広義積分です。

$u = 5-x$ とすると, $du = -dx$.

$\int \frac{1}{\sqrt{5-x}} \, dx = \int \frac{-1}{\sqrt{u}} \, du = -2\sqrt{u} + C = -2\sqrt{5-x} + C$

よって,

$\int_0^5 \frac{1}{\sqrt{5-x}} \, dx = \lim_{b \to 5^-} \int_0^b \frac{1}{\sqrt{5-x}} \, dx = \lim_{b \to 5^-} \left[ -2\sqrt{5-x} \right]_0^b = \lim_{b \to 5^-} (-2\sqrt{5-b} + 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$

(iii) $\int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = \int_1^\infty \frac{1}{x^{3/2}} \, dx$

これは積分区間が無限である広義積分です。

$\int \frac{1}{x^{3/2}} \, dx = \int x^{-3/2} \, dx = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -2x^{-1/2} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C$

よって,

$\int_1^\infty \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^{3/2}} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{2}{\sqrt{x}} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{2}{\sqrt{b}} + 2 \right) = 2$

3. 最終的な答え

(i) $-\frac{1}{4}$

(ii) $2\sqrt{5}$

(iii) $2$