(1) 曲線 $y = x^2 - 2x + 2$ と $x$軸, $y$軸, および直線 $x = 3$ で囲まれた図形の面積 $S_1$ を求める問題。 (2) 曲線 $y = x^2 - 4x + 2$ と直線 $y = x - 2$ と $y$軸で囲まれた図形の面積 $S_2$ を求める問題。 (3) 定積分 $\int_{1}^{2} (x^3 + 5x^2 - \frac{71}{2}x + 4) dx$ を計算する問題。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = x^2 - 2x + 2$ と $x$軸, $y$軸, および直線 $x = 3$ で囲まれた図形の面積 $S_1$ を求める問題。

(2) 曲線 $y = x^2 - 4x + 2$ と直線 $y = x - 2$ と $y$軸で囲まれた図形の面積 $S_2$ を求める問題。

(3) 定積分 $\int_{1}^{2} (x^3 + 5x^2 - \frac{71}{2}x + 4) dx$ を計算する問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$ より、この曲線は常に正の値を取る。

したがって、面積 $S_1$ は定積分で計算できる。

$S_1 = \int_{0}^{3} (x^2 - 2x + 2) dx$

$S_1 = [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x]_0^3 = (\frac{1}{3}(3^3) - 3^2 + 2(3)) - (0) = 9 - 9 + 6 = 6$

(2)

$y = x^2 - 4x + 2$ と $y = x - 2$ の交点を求める。

$x^2 - 4x + 2 = x - 2$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

$x = 1, 4$

$y$軸との交点（$x = 0$）から $x = 1$ までの面積を求める。

$\int_{0}^{1} ((x - 2) - (x^2 - 4x + 2)) dx = \int_{0}^{1} (-x^2 + 5x - 4) dx$

$= [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 4x]_0^1 = (-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) - (0) = \frac{-2 + 15 - 24}{6} = \frac{-11}{6}$

面積は負の値にならないので、絶対値を取る。

$S_2 = |\frac{-11}{6}| = \frac{11}{6}$

(3)

$\int_{1}^{2} (x^3 + 5x^2 - \frac{71}{2}x + 4) dx = [\frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{3}x^3 - \frac{71}{4}x^2 + 4x]_1^2$

$= (\frac{1}{4}(2^4) + \frac{5}{3}(2^3) - \frac{71}{4}(2^2) + 4(2)) - (\frac{1}{4}(1^4) + \frac{5}{3}(1^3) - \frac{71}{4}(1^2) + 4(1))$

$= (4 + \frac{40}{3} - 71 + 8) - (\frac{1}{4} + \frac{5}{3} - \frac{71}{4} + 4)$

$= (12 + \frac{40}{3} - 71) - (\frac{3 + 20 - 213 + 48}{12})$

$= \frac{36 + 40 - 213}{3} - (\frac{-142}{12}) = \frac{-137}{3} + \frac{71}{6} = \frac{-274 + 71}{6} = \frac{-203}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 6$

(2) $S_2 = \frac{11}{6}$

(3) $\int_{1}^{2} (x^3 + 5x^2 - \frac{71}{2}x + 4) dx = -\frac{203}{6}$