定積分 $\int_{-1}^{1} (x^3 + 5x^2 - \frac{71}{2}x + 4) dx$ を計算し、答えを既約分数で表す問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (x^3 + 5x^2 - \frac{71}{2}x + 4) dx$ を計算し、答えを既約分数で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (x^3 + 5x^2 - \frac{71}{2}x + 4) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} - \frac{71x^2}{4} + 4x \right]_{-1}^{1}$

次に、積分の上限と下限を代入します。

$= \left( \frac{1^4}{4} + \frac{5(1)^3}{3} - \frac{71(1)^2}{4} + 4(1) \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} + \frac{5(-1)^3}{3} - \frac{71(-1)^2}{4} + 4(-1) \right)$

$= \left( \frac{1}{4} + \frac{5}{3} - \frac{71}{4} + 4 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{5}{3} - \frac{71}{4} - 4 \right)$

$= \frac{1}{4} + \frac{5}{3} - \frac{71}{4} + 4 - \frac{1}{4} + \frac{5}{3} + \frac{71}{4} + 4$

$= \frac{5}{3} + \frac{5}{3} + 4 + 4 = \frac{10}{3} + 8 = \frac{10}{3} + \frac{24}{3} = \frac{34}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{34}{3}$