領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1\}$ 上の二重積分 $\iint_D 2 \, dx \, dy$ を計算する問題です。極座標変換を利用します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1\}$ 上の二重積分 $\iint_D 2 \, dx \, dy$ を計算する問題です。極座標変換を利用します。

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行います。

領域 $D$ は $x^2 + y^2 \le 1$ で与えられているため、$r^2 \le 1$, つまり $0 \le r \le 1$ となります。

また、$\theta$ は $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲を動きます。

ヤコビアンは $r$ であるため、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となります。

したがって、二重積分は次のようになります。

$\iint_D 2 \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 2r \, dr \, d\theta$

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$\int_0^1 2r \, dr = [r^2]_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = [\theta]_0^{2\pi} = 2\pi - 0 = 2\pi$

したがって、二重積分の値は $2\pi$ となります。

3. 最終的な答え

$2\pi$