領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, y \ge x, y \le -x\}$ を極座標変換したとき、$r\theta$ 平面上の領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選びます。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, y \ge x, y \le -x\}$ を極座標変換したとき、$r\theta$ 平面上の領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ の条件を極座標で表します。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、

$x^2 + y^2 = r^2$ なので、$x^2 + y^2 \le 1$ は $r^2 \le 1$ となり、$0 \le r \le 1$ となります。

次に、$y \ge x$ は $r\sin\theta \ge r\cos\theta$ となり、両辺を $r$ で割ると $\sin\theta \ge \cos\theta$ となります（$r>0$）。これは $\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ に相当します。

最後に、$y \le -x$ は $r\sin\theta \le -r\cos\theta$ となり、両辺を $r$ で割ると $\sin\theta \le -\cos\theta$ となります（$r>0$）。これは $\theta \in [\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$ に相当します。

$\theta$ の範囲を求めるには、$\sin\theta \ge \cos\theta$ と $\sin\theta \le -\cos\theta$ を同時に満たす $\theta$ の範囲を探します。

$\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ かつ $\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{7\pi}{4}$ を満たす範囲は $\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ となります。

したがって、領域 $D_0$ は $0 \le r \le 1$, $\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$D_0 = \{(r, \theta) | 0 \le r \le 1, \frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}\}$