次の関数を微分せよ。 (1) $f(x) = \log(\tan(\frac{x}{2}))$ (2) $f(x) = x^2 \log x$ (3) $f(x) = e^{e^x}$ (4) $f(x) = (\sin x)^{\tan x}$ (5) $f(x) = x^{x^x} (x > 0)$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $f(x) = \log(\tan(\frac{x}{2}))$

(2) $f(x) = x^2 \log x$

(3) $f(x) = e^{e^x}$

(4) $f(x) = (\sin x)^{\tan x}$

(5) $f(x) = x^{x^x} (x > 0)$

2. 解き方の手順

(1)

合成関数の微分を用いる。

$f(x) = \log(\tan(\frac{x}{2}))$

$f'(x) = \frac{1}{\tan(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})} = \frac{1}{\sin x}$

(2)

積の微分法を用いる。

$f(x) = x^2 \log x$

$f'(x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$

(3)

合成関数の微分を用いる。

$f(x) = e^{e^x}$

$f'(x) = e^{e^x} \cdot e^x = e^{e^x + x}$

(4)

両辺の対数を取る方法で微分する。

$f(x) = (\sin x)^{\tan x}$

$\log f(x) = \tan x \log(\sin x)$

両辺を$x$で微分する。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{\cos^2 x} \log(\sin x) + \tan x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\log(\sin x)}{\cos^2 x} + 1$

$f'(x) = (\sin x)^{\tan x} \left( \frac{\log(\sin x)}{\cos^2 x} + 1 \right)$

(5)

両辺の対数を取る方法で微分する。

$f(x) = x^{x^x}$

$\log f(x) = x^x \log x$

ここで、$g(x) = x^x$とすると、$\log g(x) = x \log x$

両辺を$x$で微分して、$\frac{g'(x)}{g(x)} = \log x + 1$

$g'(x) = x^x (\log x + 1)$

よって、$\log f(x) = x^x \log x$の両辺を微分して、

$\frac{f'(x)}{f(x)} = x^x(\log x + 1) \log x + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(\log x + 1) \log x + x^{x-1}$

$f'(x) = x^{x^x} (x^x (\log x + 1) \log x + x^{x-1})$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{\sin x}$

(2) $f'(x) = x(2 \log x + 1)$

(3) $f'(x) = e^{e^x + x}$

(4) $f'(x) = (\sin x)^{\tan x} \left( \frac{\log(\sin x)}{\cos^2 x} + 1 \right)$

(5) $f'(x) = x^{x^x} (x^x (\log x + 1) \log x + x^{x-1})$