与えられた3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-3}^{2} (7x+1) dx + \int_{2}^{3} (7x+1) dx$ (2) $\int_{1}^{2} (3x^2-7x+4) dx + \int_{2}^{1} (3x^2-7x+4) dx$ (3) $\int_{0}^{1} (3x^2+4) dx - \int_{2}^{1} (3x^2+4) dx$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-3}^{2} (7x+1) dx + \int_{2}^{3} (7x+1) dx$

(2) $\int_{1}^{2} (3x^2-7x+4) dx + \int_{2}^{1} (3x^2-7x+4) dx$

(3) $\int_{0}^{1} (3x^2+4) dx - \int_{2}^{1} (3x^2+4) dx$

2. 解き方の手順

(1) 定積分の性質を利用して積分範囲をまとめます。

$\int_{-3}^{2} (7x+1) dx + \int_{2}^{3} (7x+1) dx = \int_{-3}^{3} (7x+1) dx$

次に不定積分を計算します。

$\int (7x+1) dx = \frac{7}{2}x^2 + x + C$

定積分を計算します。

$\int_{-3}^{3} (7x+1) dx = \left[ \frac{7}{2}x^2 + x \right]_{-3}^{3} = \left( \frac{7}{2}(3)^2 + 3 \right) - \left( \frac{7}{2}(-3)^2 - 3 \right) = ( \frac{63}{2} + 3 ) - ( \frac{63}{2} - 3 ) = 6$

(2) 定積分の性質を利用して積分範囲をまとめます。ただし、$\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$を利用します。

$\int_{1}^{2} (3x^2-7x+4) dx + \int_{2}^{1} (3x^2-7x+4) dx = \int_{1}^{2} (3x^2-7x+4) dx - \int_{1}^{2} (3x^2-7x+4) dx = 0$

(3) 定積分の性質を利用します。$\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$

$\int_{0}^{1} (3x^2+4) dx - \int_{2}^{1} (3x^2+4) dx = \int_{0}^{1} (3x^2+4) dx + \int_{1}^{2} (3x^2+4) dx = \int_{0}^{2} (3x^2+4) dx$

不定積分を計算します。

$\int (3x^2+4) dx = x^3 + 4x + C$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (3x^2+4) dx = \left[ x^3 + 4x \right]_{0}^{2} = (2^3 + 4(2)) - (0^3 + 4(0)) = (8 + 8) - (0 + 0) = 16$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 0

(3) 16