与えられた2次曲線上の点における接線の方程式を求め、選択肢から選ぶ問題です。具体的には以下の4つの問題があります。 (1) $y^2 = 4x$ 上の点 $(1, -2)$ における接線 (2) $x^2 - y^2 = 1$ 上の点 $(-\sqrt{2}, 1)$ における接線 (3) $x^2 + 4y^2 = 4$ 上の点 $(2, 0)$ における接線 (4) $2x^2 - y^2 = -2$ 上の点 $(1, 2)$ における接線

1. 問題の内容

与えられた2次曲線上の点における接線の方程式を求め、選択肢から選ぶ問題です。具体的には以下の4つの問題があります。

(1) $y^2 = 4x$ 上の点 $(1, -2)$ における接線

(2) $x^2 - y^2 = 1$ 上の点 $(-\sqrt{2}, 1)$ における接線

(3) $x^2 + 4y^2 = 4$ 上の点 $(2, 0)$ における接線

(4) $2x^2 - y^2 = -2$ 上の点 $(1, 2)$ における接線

2. 解き方の手順

各問題について、接線の方程式を求める手順は以下の通りです。

(1) $y^2 = 4x$ 上の点 $(1, -2)$ における接線

* 陰関数の微分をします。 $2y \frac{dy}{dx} = 4$ となり、 $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ です。

* 点 $(1, -2)$ における傾きは $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{-2} = -1$ です。

* 接線の方程式は $y - (-2) = -1(x - 1)$ より $y + 2 = -x + 1$ となり、$y = -x - 1$ です。

(2) $x^2 - y^2 = 1$ 上の点 $(-\sqrt{2}, 1)$ における接線

* 陰関数の微分をします。 $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ となり、 $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ です。

* 点 $(-\sqrt{2}, 1)$ における傾きは $\frac{dy}{dx} = \frac{-\sqrt{2}}{1} = -\sqrt{2}$ です。

* 接線の方程式は $y - 1 = -\sqrt{2}(x - (-\sqrt{2}))$ より $y - 1 = -\sqrt{2}x - 2$ となり、$y = -\sqrt{2}x - 1$ です。

(3) $x^2 + 4y^2 = 4$ 上の点 $(2, 0)$ における接線

* 陰関数の微分をします。 $2x + 8y \frac{dy}{dx} = 0$ となり、 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y}$ です。

* 点 $(2, 0)$ を代入すると $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{0}$ となり、傾きは定義できません。これは接線が $x$ 軸に垂直であることを意味します。

* したがって、接線の方程式は $x = 2$ です。

(4) $2x^2 - y^2 = -2$ 上の点 $(1, 2)$ における接線

* 陰関数の微分をします。 $4x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ となり、 $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y}$ です。

* 点 $(1, 2)$ における傾きは $\frac{dy}{dx} = \frac{2(1)}{2} = 1$ です。

* 接線の方程式は $y - 2 = 1(x - 1)$ より $y - 2 = x - 1$ となり、$y = x + 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) ① $y = -x - 1$

(2) ② $y = -\sqrt{2}x - 1$

(3) ⑤ $x = 2$

(4) ② $y = x + 1$