与えられた関数 $y = \cos^{-1}(\frac{x}{2})$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cos^{-1}(\frac{x}{2})$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、逆三角関数 $\cos^{-1}(u)$ の微分公式を思い出します。

$\frac{d}{du} (\cos^{-1}(u)) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

次に、連鎖律（chain rule）を利用して、与えられた関数の導関数を求めます。

$y = \cos^{-1}(\frac{x}{2})$ なので、$u = \frac{x}{2}$ とおくと、$y = \cos^{-1}(u)$ となります。

連鎖律より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{2})^2}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}} = -\frac{1}{2\sqrt{\frac{4 - x^2}{4}}} = -\frac{1}{2\frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$