関数 $f(x) = e^x - \sin(x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ のマクローリン展開を3次まで求めます。 (2) (1)で求めたマクローリン展開を $g(x)$ とおき、$g(x)$ の増減、凹凸を調べ、$y = g(x)$ の概形を描きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x - \sin(x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ のマクローリン展開を3次まで求めます。

(2) (1)で求めたマクローリン展開を $g(x)$ とおき、$g(x)$ の増減、凹凸を調べ、$y = g(x)$ の概形を描きます。

2. 解き方の手順

(1) マクローリン展開は、$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$ で表されます。

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f(x) = e^x - \sin(x)$

$f'(x) = e^x - \cos(x)$

$f''(x) = e^x + \sin(x)$

$f'''(x) = e^x + \cos(x)$

次に、それぞれの導関数に $x=0$ を代入します。

$f(0) = e^0 - \sin(0) = 1 - 0 = 1$

$f'(0) = e^0 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$

$f''(0) = e^0 + \sin(0) = 1 + 0 = 1$

$f'''(0) = e^0 + \cos(0) = 1 + 1 = 2$

したがって、$f(x)$ のマクローリン展開の3次までの項は、

$f(x) \approx 1 + 0 \cdot x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

(2) (1)で求めたマクローリン展開を $g(x)$ とおくと、$g(x) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$ です。

増減を調べるために、$g'(x)$ を求めます。

$g'(x) = x + x^2 = x(1+x)$

$g'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = -1$ のときです。

増減表は以下のようになります。

x | ... | -1 | ... | 0 | ...

-----|-----|----|-----|---|-----

g'(x) | + | 0 | - | 0 | +

g(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑

$g(-1) = 1 + \frac{1}{2}(-1)^2 + \frac{1}{3}(-1)^3 = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 + \frac{3 - 2}{6} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

$g(0) = 1$

凹凸を調べるために、$g''(x)$ を求めます。

$g''(x) = 1 + 2x$

$g''(x) = 0$ となるのは、$x = -\frac{1}{2}$ のときです。

凹凸表は以下のようになります。

x | ... | -1/2 | ...

-----|-------|------|-----

g''(x)| - | 0 | +

g(x) | 凸 | 変曲点 | 凹

$g(-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^3 = 1 + \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = 1 + \frac{3 - 1}{24} = 1 + \frac{2}{24} = 1 + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}$

グラフの概形は、$x = -1$ で極大値 $\frac{7}{6}$ をとり、$x = 0$ で極小値 $1$ をとり、$x = -\frac{1}{2}$ で変曲点 $(\frac{-1}{2}, \frac{13}{12})$ を持ちます。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) \approx 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

(2)

増減：$x = -1$ で極大値 $\frac{7}{6}$ をとり、$x = 0$ で極小値 $1$ をとる。

凹凸：$x = -\frac{1}{2}$ で変曲点 $(\frac{-1}{2}, \frac{13}{12})$ を持つ。

$y=g(x)$のグラフの概形：（上記の情報を基にグラフを描画）