与えられた3つの関数について、それぞれの逆関数の導関数を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 4x - 3$ ($x < -2$) (2) $y = \tan 2x$ ($-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$) (3) $y = \sin^{-1}(\tan x)$ ($-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$)

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの逆関数の導関数を求める問題です。

(1) $y = x^2 + 4x - 3$ ($x < -2$)

(2) $y = \tan 2x$ ($-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$)

(3) $y = \sin^{-1}(\tan x)$ ($-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 4x - 3$ の逆関数を求めます。

$y = (x+2)^2 - 7$ と変形できます。

$x < -2$ なので、$x+2 < 0$ です。

$(x+2)^2 = y+7$ より、$x+2 = -\sqrt{y+7}$ となります。

$x = -2 - \sqrt{y+7}$ が逆関数です。

$y$ を $x$ に書き換えて、$y = -2 - \sqrt{x+7}$ とします。

この逆関数の導関数は、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x+7}}$ となります。

これは選択肢の 8 に対応します。

(2) $y = \tan 2x$ の逆関数を求めます。

$2x = \tan^{-1} y$ より、$x = \frac{1}{2} \tan^{-1} y$ となります。

$y$ を $x$ に書き換えて、$y = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$ とします。

この逆関数の導関数は、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$ となります。

これは選択肢の 9 に対応します。

(3) $y = \sin^{-1}(\tan x)$ の導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\tan x)^2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}} = \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}}} = \frac{1}{\cos^2 x \frac{\sqrt{\cos 2x}}{\cos x}} = \frac{1}{\cos x \sqrt{\cos 2x}}$となります。

これは選択肢の 6 に対応します。

3. 最終的な答え

(1) ア: 8

(2) イ: 9

(3) ウ: 6