与えられた関数 $f(x) = 5\cos 2x - 3$ について、その最大値、最小値、周期を求め、また、別の関数 $g(x) = -\sin x$ との共有点の個数を求め、その座標に関連する方程式の実数解について考察する。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = 5\cos 2x - 3$ について、その最大値、最小値、周期を求め、また、別の関数 $g(x) = -\sin x$ との共有点の個数を求め、その座標に関連する方程式の実数解について考察する。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = 5\cos 2x - 3$ について

* 最大値：$\cos 2x$ の最大値は 1 なので、$f(x)$ の最大値は $5(1) - 3 = 2$。

* 最小値：$\cos 2x$ の最小値は -1 なので、$f(x)$ の最小値は $5(-1) - 3 = -8$。

* 周期：$\cos 2x$ の周期は $\frac{2\pi}{2} = \pi$。

(2) 関数 $g(x) = -\sin x$ との共有点について

方程式 $f(x) = g(x)$ つまり $5\cos 2x - 3 = -\sin x$ を考える。

2倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$5(1 - 2\sin^2 x) - 3 = -\sin x$

$5 - 10\sin^2 x - 3 = -\sin x$

$-10\sin^2 x + \sin x + 2 = 0$

$10\sin^2 x - \sin x - 2 = 0$

ここで $t = \sin x$ とおくと、

$10t^2 - t - 2 = 0$

$(2t + \frac{1}{2})(5t - 2 * \frac{4}{5}) = (5t+2)(2t-1) = 0$

$(2t+4/5)(5t-1)$

$(5t+2)(2t-1) = 0$

$(5\sin x +4)(2sin x - 1)=0$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: -8

ウ: π

オ: 2

カ: $sin^2 x$

キ: 10

ク: -1

ケ: -2