与えられた公式 $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)} (ax+b)^{n+1} + C$ を用いて、以下の不定積分を計算します。 (1) $\int (x+5)^2 dx$ (2) $\int (3x+2)^5 dx$ (3) $\int (x+1)^6 dx$ (4) $\int (3x-7)^3 dx$

1. 問題の内容

与えられた公式 $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)} (ax+b)^{n+1} + C$ を用いて、以下の不定積分を計算します。

(1) $\int (x+5)^2 dx$

(2) $\int (3x+2)^5 dx$

(3) $\int (x+1)^6 dx$

(4) $\int (3x-7)^3 dx$

2. 解き方の手順

与えられた公式をそのまま適用します。それぞれの積分について、$a, b, n$ の値を特定し、公式に代入して計算します。$C$ は積分定数です。

(1) $\int (x+5)^2 dx$ について、$a=1$, $b=5$, $n=2$ です。公式に代入すると、

$\int (x+5)^2 dx = \frac{1}{1(2+1)} (x+5)^{2+1} + C = \frac{1}{3} (x+5)^3 + C$

(2) $\int (3x+2)^5 dx$ について、$a=3$, $b=2$, $n=5$ です。公式に代入すると、

$\int (3x+2)^5 dx = \frac{1}{3(5+1)} (3x+2)^{5+1} + C = \frac{1}{18} (3x+2)^6 + C$

(3) $\int (x+1)^6 dx$ について、$a=1$, $b=1$, $n=6$ です。公式に代入すると、

$\int (x+1)^6 dx = \frac{1}{1(6+1)} (x+1)^{6+1} + C = \frac{1}{7} (x+1)^7 + C$

(4) $\int (3x-7)^3 dx$ について、$a=3$, $b=-7$, $n=3$ です。公式に代入すると、

$\int (3x-7)^3 dx = \frac{1}{3(3+1)} (3x-7)^{3+1} + C = \frac{1}{12} (3x-7)^4 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (x+5)^2 dx = \frac{1}{3} (x+5)^3 + C$

(2) $\int (3x+2)^5 dx = \frac{1}{18} (3x+2)^6 + C$

(3) $\int (x+1)^6 dx = \frac{1}{7} (x+1)^7 + C$

(4) $\int (3x-7)^3 dx = \frac{1}{12} (3x-7)^4 + C$