定積分 $\int_{0}^{1} (\cos \pi x - ax - b)^2 dx$ の値を最小にする定数 $a$, $b$ の値、およびその最小値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (\cos \pi x - ax - b)^2 dx$ の値を最小にする定数 $a$, $b$ の値、およびその最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(a, b) = \int_{0}^{1} (\cos \pi x - ax - b)^2 dx$ とおきます。$f(a, b)$ を最小化するためには、$\frac{\partial f}{\partial a} = 0$ と $\frac{\partial f}{\partial b} = 0$ を満たす $a$ と $b$ を求める必要があります。

まず、$f(a, b)$ を計算します。

\begin{align*}

f(a, b) &= \int_{0}^{1} (\cos^2 \pi x + a^2x^2 + b^2 - 2ax \cos \pi x - 2b \cos \pi x + 2abx) dx \\

&= \int_{0}^{1} \cos^2 \pi x dx + a^2 \int_{0}^{1} x^2 dx + b^2 \int_{0}^{1} dx - 2a \int_{0}^{1} x \cos \pi x dx - 2b \int_{0}^{1} \cos \pi x dx + 2ab \int_{0}^{1} x dx

\end{align*}

各積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \cos^2 \pi x dx = \int_{0}^{1} \frac{1 + \cos 2\pi x}{2} dx = \left[\frac{x}{2} + \frac{\sin 2\pi x}{4\pi}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$

$\int_{0}^{1} dx = 1$

$\int_{0}^{1} x \cos \pi x dx = \left[\frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2}\right]_{0}^{1} = -\frac{2}{\pi^2}$

$\int_{0}^{1} \cos \pi x dx = \left[\frac{\sin \pi x}{\pi}\right]_{0}^{1} = 0$

$\int_{0}^{1} x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$

したがって、

$f(a, b) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}a^2 + b^2 + \frac{4a}{\pi^2} + ab$

$\frac{\partial f}{\partial a} = \frac{2}{3}a + \frac{4}{\pi^2} + b = 0$

$\frac{\partial f}{\partial b} = 2b + a = 0$

$a = -2b$ を $\frac{2}{3}a + \frac{4}{\pi^2} + b = 0$ に代入すると、

$-\frac{4}{3}b + \frac{4}{\pi^2} + b = 0$

$-\frac{1}{3}b = -\frac{4}{\pi^2}$

$b = \frac{12}{\pi^2}$

$a = -\frac{24}{\pi^2}$

最小値は

$f\left(-\frac{24}{\pi^2}, \frac{12}{\pi^2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\left(-\frac{24}{\pi^2}\right)^2 + \left(\frac{12}{\pi^2}\right)^2 + \frac{4}{\pi^2}\left(-\frac{24}{\pi^2}\right) + \left(-\frac{24}{\pi^2}\right)\left(\frac{12}{\pi^2}\right)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\left(\frac{576}{\pi^4}\right) + \frac{144}{\pi^4} - \frac{96}{\pi^4} - \frac{288}{\pi^4}$

$= \frac{1}{2} + \frac{192}{\pi^4} + \frac{144}{\pi^4} - \frac{96}{\pi^4} - \frac{288}{\pi^4} = \frac{1}{2} - \frac{48}{\pi^4}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{24}{\pi^2}$, $b = \frac{12}{\pi^2}$, 最小値は $\frac{1}{2} - \frac{48}{\pi^4}$