問題は、与えられた曲線または直線で囲まれた図形の面積を求める問題です。具体的には、以下の5つの問題が含まれています。 (1) $y = x^2$, $y = 2x$で囲まれた図形 (2) $y = x^2 - 3x + 2$, $y = 2x - 4$で囲まれた図形 (3) $y = 3x - 2x^2$, $y = 1$で囲まれた図形 (4) $y = x^2 - 2$, $y = -x^2 + 2x + 2$で囲まれた図形 (5) $y = (x+2)(x-1)^2$, $y = -x+2$で囲まれた図形 以下、各問題の解法と答えを記述します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた曲線または直線で囲まれた図形の面積を求める問題です。具体的には、以下の5つの問題が含まれています。

(1) $y = x^2$, $y = 2x$で囲まれた図形

(2) $y = x^2 - 3x + 2$, $y = 2x - 4$で囲まれた図形

(3) $y = 3x - 2x^2$, $y = 1$で囲まれた図形

(4) $y = x^2 - 2$, $y = -x^2 + 2x + 2$で囲まれた図形

(5) $y = (x+2)(x-1)^2$, $y = -x+2$で囲まれた図形

以下、各問題の解法と答えを記述します。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2$, $y = 2x$

2つの曲線の交点を求めます。$x^2 = 2x$を解くと、$x^2 - 2x = 0$より、$x(x - 2) = 0$となり、$x = 0, 2$です。

求める面積は、積分を用いて計算します。$2x$の方が$x^2$より大きいので、

$\int_0^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = (4 - \frac{8}{3}) - (0 - 0) = \frac{4}{3}$

(2) $y = x^2 - 3x + 2$, $y = 2x - 4$

2つの曲線の交点を求めます。$x^2 - 3x + 2 = 2x - 4$を解くと、$x^2 - 5x + 6 = 0$より、$(x - 2)(x - 3) = 0$となり、$x = 2, 3$です。

求める面積は、積分を用いて計算します。$2x-4$の方が$x^2-3x+2$より大きいので、

$\int_2^3 ((2x - 4) - (x^2 - 3x + 2)) dx = \int_2^3 (-x^2 + 5x - 6) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 6x]_2^3$

$= (-\frac{27}{3} + \frac{45}{2} - 18) - (-\frac{8}{3} + \frac{20}{2} - 12) = (-9 + \frac{45}{2} - 18) - (-\frac{8}{3} + 10 - 12) = (-27 + \frac{45}{2}) - (-\frac{8}{3} - 2) = -27 + \frac{45}{2} + \frac{8}{3} + 2 = -25 + \frac{135+16}{6} = -25 + \frac{151}{6} = \frac{-150+151}{6} = \frac{1}{6}$

(3) $y = 3x - 2x^2$, $y = 1$

2つの曲線の交点を求めます。$3x - 2x^2 = 1$を解くと、$2x^2 - 3x + 1 = 0$より、$(2x - 1)(x - 1) = 0$となり、$x = \frac{1}{2}, 1$です。

求める面積は、積分を用いて計算します。$3x-2x^2$の方が1より大きいので、

$\int_{\frac{1}{2}}^1 ((3x - 2x^2) - 1) dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 (-2x^2 + 3x - 1) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x]_{\frac{1}{2}}^1$

$= (-\frac{2}{3} + \frac{3}{2} - 1) - (-\frac{2}{3}(\frac{1}{8}) + \frac{3}{2}(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2}) = (-\frac{4}{6} + \frac{9}{6} - \frac{6}{6}) - (-\frac{1}{12} + \frac{3}{8} - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{6} - (-\frac{2}{24} + \frac{9}{24} - \frac{12}{24}) = -\frac{1}{6} - (-\frac{5}{24}) = -\frac{1}{6} + \frac{5}{24} = \frac{-4+5}{24} = \frac{1}{24}$

(4) $y = x^2 - 2$, $y = -x^2 + 2x + 2$

2つの曲線の交点を求めます。$x^2 - 2 = -x^2 + 2x + 2$を解くと、$2x^2 - 2x - 4 = 0$より、$x^2 - x - 2 = 0$となり、$(x - 2)(x + 1) = 0$となり、$x = -1, 2$です。

求める面積は、積分を用いて計算します。$-x^2+2x+2$の方が$x^2-2$より大きいので、

$\int_{-1}^2 ((-x^2 + 2x + 2) - (x^2 - 2)) dx = \int_{-1}^2 (-2x^2 + 2x + 4) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x]_{-1}^2$

$= (-\frac{2}{3}(8) + 4 + 8) - (-\frac{2}{3}(-1) + 1 - 4) = (-\frac{16}{3} + 12) - (\frac{2}{3} - 3) = -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3 = 15 - \frac{18}{3} = 15 - 6 = 9$

(5) $y = (x+2)(x-1)^2$, $y = -x+2$

2つの曲線の交点を求めます。$(x+2)(x-1)^2 = -x+2$を解くと、$(x+2)(x^2-2x+1) = -x+2$より、$x^3 -2x^2+x+2x^2-4x+2 = -x+2$となり、$x^3-3x+2 = -x+2$、$x^3-2x=0$、$x(x^2-2) = 0$となり、$x = 0, \pm \sqrt{2}$です。

この問題では交点が3つあり、$x= - \sqrt{2}, 0, \sqrt{2}$ですが、今回は、直線の方が大きい区間と、曲線の方が大きい区間があるため、場合分けをします。

$-\sqrt{2} \le x \le 0$で直線が大きく、$0 \le x \le \sqrt{2}$で曲線が大きいことが分かります。

$\int_{-\sqrt{2}}^0 ((-x+2) - (x+2)(x-1)^2)dx + \int_0^{\sqrt{2}} ((x+2)(x-1)^2 - (-x+2)) dx = \int_{-\sqrt{2}}^0 (-x^3+2x)dx + \int_0^{\sqrt{2}} (x^3-2x) dx = [-\frac{1}{4}x^4+x^2]_{-\sqrt{2}}^0 + [\frac{1}{4}x^4-x^2]_0^{\sqrt{2}} = 0 - (-\frac{1}{4}(4)+2) + (\frac{1}{4}(4)-2) - 0 = 0 - (-1+2) + (1-2) - 0 = -1 -1 = -2$

絶対値を取ると2になります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3}$

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $\frac{1}{24}$

(4) 9

(5) 2