与えられた4つの方程式について、それぞれ異なる実数解の個数を求め、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。 (1) $x^3 - 3x + 5 = 0$ (2) $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ (3) $2x^3 - 3x^2 - 12x - 3 = 0$ (4) $x^3 + 3x^2 - 9x - 2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの方程式について、それぞれ異なる実数解の個数を求め、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

(1) $x^3 - 3x + 5 = 0$

(2) $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$

(3) $2x^3 - 3x^2 - 12x - 3 = 0$

(4) $x^3 + 3x^2 - 9x - 2 = 0$

2. 解き方の手順

各方程式について、微分を用いて増減表を作成し、グラフの概形を描くことで実数解の個数を調べます。

(1) $f(x) = x^3 - 3x + 5$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \pm 1$

$x = -1$ のとき、$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7$

$x = 1$ のとき、$f(1) = (1)^3 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$

$f(x)$ は、$x = -1$ で極大値7、$x = 1$ で極小値3をとる。

$x \to -\infty$ で $f(x) \to -\infty$, $x \to \infty$ で $f(x) \to \infty$ より、実数解は1個。

(2) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$

$f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, -2$

$x = -2$ のとき、$f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4$

$f(x)$ は、$x = -2$ で極大値0、$x = 0$ で極小値-4をとる。

$x \to -\infty$ で $f(x) \to -\infty$, $x \to \infty$ で $f(x) \to \infty$ より、実数解は2個。

（因数分解すると、$f(x) = (x+2)^2(x-1)$なので、重解を持つこともわかる。）

(3) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 3$

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 2, -1$

$x = -1$ のとき、$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) - 3 = -2 - 3 + 12 - 3 = 4$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) - 3 = 16 - 12 - 24 - 3 = -23$

$f(x)$ は、$x = -1$ で極大値4、$x = 2$ で極小値-23をとる。

$x \to -\infty$ で $f(x) \to -\infty$, $x \to \infty$ で $f(x) \to \infty$ より、実数解は3個。

(4) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 2$

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x + 3)(x - 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -3, 1$

$x = -3$ のとき、$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 2 = -27 + 27 + 27 - 2 = 25$

$x = 1$ のとき、$f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 2 = 1 + 3 - 9 - 2 = -7$

$f(x)$ は、$x = -3$ で極大値25、$x = 1$ で極小値-7をとる。

$x \to -\infty$ で $f(x) \to -\infty$, $x \to \infty$ で $f(x) \to \infty$ より、実数解は3個。

3. 最終的な答え

(1) 1: ②1個

(2) 2: ③2個

(3) 3: ④3個

(4) 4: ④3個