関数 $f(x) = 2x + \sqrt{2}\sin(2x)$ の $0 \leq x \leq \pi$ における増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、曲線 $y=f(x)$ の概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x + \sqrt{2}\sin(2x)$ の $0 \leq x \leq \pi$ における増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、曲線 $y=f(x)$ の概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、導関数 $f'(x)$ と第二導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f'(x) = 2 + 2\sqrt{2}\cos(2x)$

$f''(x) = -4\sqrt{2}\sin(2x)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2 + 2\sqrt{2}\cos(2x) = 0$

$\cos(2x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$2x = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

$x = \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}$

(3) $f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-4\sqrt{2}\sin(2x) = 0$

$\sin(2x) = 0$

$2x = 0, \pi, 2\pi$

$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$

(4) 増減表を作成します。

| x | 0 | ... | 3π/8 | ... | 5π/8 | ... | π/2 | ... | π |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | | + | |

| f''(x) | 0 | - | - | - | - | - | 0 | + | 0 |

| f(x) | | ↗ 凹 | 極大 凹 | ↘ 凹 | 極小 凹 | ↗ 凸 | 変曲点 | ↗ 凸 | |

(5) 極値を求めます。

$x = \frac{3\pi}{8}$ のとき、極大値 $f(\frac{3\pi}{8}) = 2(\frac{3\pi}{8}) + \sqrt{2}\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3\pi}{4} + 1$

$x = \frac{5\pi}{8}$ のとき、極小値 $f(\frac{5\pi}{8}) = 2(\frac{5\pi}{8}) + \sqrt{2}\sin(\frac{5\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{5\pi}{4} - 1$

(6) 変曲点を求めます。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 2(0) + \sqrt{2}\sin(0) = 0$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$f(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2}) + \sqrt{2}\sin(\pi) = \pi + 0 = \pi$

$x = \pi$ のとき、$f(\pi) = 2(\pi) + \sqrt{2}\sin(2\pi) = 2\pi + 0 = 2\pi$

(7) グラフの概形を描きます。

3. 最終的な答え

* 増減:

* $0 \leq x < \frac{3\pi}{8}$ で増加

* $\frac{3\pi}{8} < x < \frac{5\pi}{8}$ で減少

* $\frac{5\pi}{8} < x \leq \pi$ で増加

* 極値:

* $x = \frac{3\pi}{8}$ で極大値 $\frac{3\pi}{4} + 1$

* $x = \frac{5\pi}{8}$ で極小値 $\frac{5\pi}{4} - 1$

* 凹凸:

* $0 < x < \frac{\pi}{2}$ で上に凹

* $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ で下に凹

* 変曲点:

* $(0, 0), (\frac{\pi}{2}, \pi), (\pi, 2\pi)$

グラフの概形は、上記の情報を元に、滑らかな曲線を描けば良いです。