次の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$ (3) $\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2})$

1. 問題の内容

次の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$

(3) $\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2})$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$ について

これは不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ なので、ロピタルの定理を使います。

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} x^2 = 2x$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2} = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$ について

これも不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ なので、ロピタルの定理を使います。

$\frac{d}{dx} (x^2 + 1) = 2x$

$\frac{d}{dx} xe^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{(x+1)e^x}$

これも不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ なので、再びロピタルの定理を使います。

$\frac{d}{dx} 2x = 2$

$\frac{d}{dx} (x+1)e^x = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{(x+1)e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{(x+2)e^x} = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2})$ について

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2}) = \lim_{t \to 0} \frac{\arctan \frac{1}{t} - \frac{\pi}{2}}{t}$

$\arctan \frac{1}{t} = \mathrm{arccot} \, t$ であるから、

$\lim_{t \to 0} \frac{\mathrm{arccot} \, t - \frac{\pi}{2}}{t}$

$\mathrm{arccot} \, t = \frac{\pi}{2} - \arctan t$ であるから、

$\lim_{t \to 0} \frac{(\frac{\pi}{2} - \arctan t) - \frac{\pi}{2}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\arctan t}{t} = -1$

（$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t} = 1$ は既知とします。）

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x} = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2}) = -1$