与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int x \tan^{-1}x \, dx$ (2) $\int \sqrt{4-x^2} \, dx$ (3) $\int \frac{1}{\cos x} \, dx$ (4) $\int (x^2-3x+1)e^{2x-1} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int x \tan^{-1}x \, dx$

(2) $\int \sqrt{4-x^2} \, dx$

(3) $\int \frac{1}{\cos x} \, dx$

(4) $\int (x^2-3x+1)e^{2x-1} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x \tan^{-1}x \, dx$

部分積分を用います。$u = \tan^{-1}x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$。

$$\int x \tan^{-1}x \, dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1}x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$$

$$= \frac{x^2}{2} \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} \, dx$$

$$= \frac{x^2}{2} \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) \, dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1}x - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1}x) + C$$

$$= \frac{x^2}{2} \tan^{-1}x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1}x + C = \frac{x^2+1}{2} \tan^{-1}x - \frac{x}{2} + C$$

(2) $\int \sqrt{4-x^2} \, dx$

三角関数置換を用います。$x = 2\sin\theta$ とすると、$dx = 2\cos\theta \, d\theta$, $\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$。

$$\int \sqrt{4-x^2} \, dx = \int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta \, d\theta = 4 \int \cos^2\theta \, d\theta$$

$$= 4 \int \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = 2 \int (1+\cos(2\theta)) \, d\theta = 2\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right) + C$$

$$= 2\theta + \sin(2\theta) + C = 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C$$

$x = 2\sin\theta$ より、$\sin\theta = \frac{x}{2}$, $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)$, $\cos\theta = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$。

$$= 2\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$$

(3) $\int \frac{1}{\cos x} \, dx = \int \sec x \, dx$

$$\int \sec x \, dx = \int \frac{\sec x(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} \, dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} \, dx$$

$u = \sec x + \tan x$ とすると、$du = (\sec x \tan x + \sec^2 x) \, dx$。

$$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln |\sec x + \tan x| + C$$

(4) $\int (x^2-3x+1)e^{2x-1} \, dx = \frac{1}{e} \int (x^2-3x+1)e^{2x} \, dx$

部分積分を繰り返し用います。

まず、$u = x^2-3x+1$, $dv = e^{2x} \, dx$ とすると、$du = (2x-3) \, dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$。

$$\frac{1}{e} \int (x^2-3x+1)e^{2x} \, dx = \frac{1}{e} \left[ \frac{1}{2}(x^2-3x+1)e^{2x} - \int \frac{1}{2}(2x-3)e^{2x} \, dx \right]$$

$$= \frac{1}{2e} (x^2-3x+1)e^{2x} - \frac{1}{2e} \int (2x-3)e^{2x} \, dx$$

次に、$u = 2x-3$, $dv = e^{2x} \, dx$ とすると、$du = 2 \, dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$。

$$= \frac{1}{2e} (x^2-3x+1)e^{2x} - \frac{1}{2e} \left[ \frac{1}{2}(2x-3)e^{2x} - \int \frac{1}{2} \cdot 2 e^{2x} \, dx \right]$$

$$= \frac{1}{2e} (x^2-3x+1)e^{2x} - \frac{1}{4e} (2x-3)e^{2x} + \frac{1}{2e} \int e^{2x} \, dx$$

$$= \frac{1}{2e} (x^2-3x+1)e^{2x} - \frac{1}{4e} (2x-3)e^{2x} + \frac{1}{4e} e^{2x} + C$$

$$= \frac{1}{e} \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \right) e^{2x} + C = \frac{1}{e} \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{2} \right) e^{2x} + C$$

$$= \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{2} \right) e^{2x-1} + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \tan^{-1}x \, dx = \frac{x^2+1}{2} \tan^{-1}x - \frac{x}{2} + C$

(2) $\int \sqrt{4-x^2} \, dx = 2\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$

(3) $\int \frac{1}{\cos x} \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$

(4) $\int (x^2-3x+1)e^{2x-1} \, dx = \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{2} \right) e^{2x-1} + C$