与えられた数列の和 $S_n = \frac{2}{3\cdot5} + \frac{2}{5\cdot7} + \frac{2}{7\cdot9} + \dots + \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ を求める問題です。選択肢の中から正しい答えを選びます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n = \frac{2}{3\cdot5} + \frac{2}{5\cdot7} + \frac{2}{7\cdot9} + \dots + \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ を求める問題です。選択肢の中から正しい答えを選びます。

2. 解き方の手順

この問題は、部分分数分解を利用して解きます。各項を以下のように分解します。

$\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}$

両辺に $(2k+1)(2k+3)$ をかけると、

$2 = A(2k+3) + B(2k+1)$

係数比較を行います。

$2k$の係数: $0 = 2A + 2B$ より $A = -B$

定数項: $2 = 3A + B$

$A = -B$ を代入すると、$2 = 3A - A = 2A$ より $A = 1$。したがって、$B = -1$。

よって、

$\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}$

したがって、$S_n$は以下のように書き換えることができます。

$S_n = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}\right)$

これは、隣り合う項が打ち消し合う「telescoping sum（望遠鏡和）」になっています。 初項と末項のみが残ります。

$S_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} = \frac{(2n+3) - 3}{3(2n+3)} = \frac{2n}{3(2n+3)}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{2n}{3(2n+3)}$

したがって、選択肢の①が正解です。