問題60では、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、以下の値を求める。 (1) $\sin 2\alpha$ (2) $\tan \frac{\alpha}{2}$ 問題61では、$0 \leq x < 2\pi$ のとき、方程式 $\cos 2x + \cos x = 0$ を解く。

1. 問題の内容

問題60では、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、以下の値を求める。

(1) $\sin 2\alpha$

(2) $\tan \frac{\alpha}{2}$

問題61では、$0 \leq x < 2\pi$ のとき、方程式 $\cos 2x + \cos x = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

問題60:

(1) $\sin 2\alpha$ を求める。

まず、$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、$\sin \alpha$ を求める。$\cos \alpha = \frac{3}{5}$ を代入すると、

$\sin^2 \alpha + (\frac{3}{5})^2 = 1$

$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\sin \alpha > 0$ なので、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$。

次に、$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ を用いて、$\sin 2\alpha$ を計算する。

$\sin 2\alpha = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

(2) $\tan \frac{\alpha}{2}$ を求める。

半角の公式 $\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$ を利用する。

$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$ なので、$\tan \frac{\alpha}{2} > 0$。

したがって、$\tan \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

問題61:

$\cos 2x + \cos x = 0$ を解く。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いて、式を変形する。

$2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0$

$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

$(\cos x + 1)(2\cos x - 1) = 0$

したがって、$\cos x = -1$ または $\cos x = \frac{1}{2}$。

$\cos x = -1$ のとき、$x = \pi$。

$\cos x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

$0 \leq x < 2\pi$ より、$x = \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

3. 最終的な答え

問題60:

(1) $\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$

(2) $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}$

問題61:

$x = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$