与えられた公式 $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C$ を用いて、次の不定積分を求めます。 (1) $\int (x+4)^3 dx$ (2) $\int (2x+1)^4 dx$ また、同じ公式を用いて、次の不定積分を求めます。 (1) $\int (x+4)^2 dx$ (2) $\int (2x-5)^2 dx$

1. 問題の内容

与えられた公式 $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C$ を用いて、次の不定積分を求めます。

(1) $\int (x+4)^3 dx$

(2) $\int (2x+1)^4 dx$

また、同じ公式を用いて、次の不定積分を求めます。

(1) $\int (x+4)^2 dx$

(2) $\int (2x-5)^2 dx$

2. 解き方の手順

与えられた公式 $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C$ をそれぞれの積分に適用します。

(1) $\int (x+4)^3 dx$:

$a=1$, $b=4$, $n=3$ なので、

$\int (x+4)^3 dx = \frac{1}{1(3+1)}(x+4)^{3+1} + C = \frac{1}{4}(x+4)^4 + C$.

(2) $\int (2x+1)^4 dx$:

$a=2$, $b=1$, $n=4$ なので、

$\int (2x+1)^4 dx = \frac{1}{2(4+1)}(2x+1)^{4+1} + C = \frac{1}{10}(2x+1)^5 + C$.

(1) $\int (x+4)^2 dx$:

$a=1$, $b=4$, $n=2$ なので、

$\int (x+4)^2 dx = \frac{1}{1(2+1)}(x+4)^{2+1} + C = \frac{1}{3}(x+4)^3 + C$.

(2) $\int (2x-5)^2 dx$:

$a=2$, $b=-5$, $n=2$ なので、

$\int (2x-5)^2 dx = \frac{1}{2(2+1)}(2x-5)^{2+1} + C = \frac{1}{6}(2x-5)^3 + C$.

3. 最終的な答え

(1) $\int (x+4)^3 dx = \frac{1}{4}(x+4)^4 + C$

(2) $\int (2x+1)^4 dx = \frac{1}{10}(2x+1)^5 + C$

(1) $\int (x+4)^2 dx = \frac{1}{3}(x+4)^3 + C$

(2) $\int (2x-5)^2 dx = \frac{1}{6}(2x-5)^3 + C$