関数 $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}$ を積分します。

承知いたしました。画像にある問題の中から、(1) の $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}$ を積分する問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}$ を積分します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を部分分数分解します。

$\frac{x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$

両辺に $(x+1)(x-2)$ を掛けると、

$x-1 = A(x-2) + B(x+1)$

$x-1 = (A+B)x + (-2A+B)$

この等式が成り立つためには、以下の連立方程式を満たす必要があります。

$A+B = 1$

$-2A+B = -1$

これらの式を解くと、

$A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{3(x+1)} + \frac{1}{3(x-2)}$

積分は、

$\int \frac{x-1}{(x+1)(x-2)} dx = \int \left(\frac{2}{3(x+1)} + \frac{1}{3(x-2)}\right) dx$

$= \frac{2}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x-2} dx$

$= \frac{2}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} \ln|x-2| + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int \frac{x-1}{(x+1)(x-2)} dx = \frac{2}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} \ln|x-2| + C$