与えられた関数 $f(x)$ について、指定された区間 $I$ における増加・減少を調べよ。 (1) $f(x) = x^3 + 4x + 5$, $I = (-\infty, \infty)$ (2) $f(x) = x - e^x$, $I = (0, \infty)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、指定された区間 $I$ における増加・減少を調べよ。

(1) $f(x) = x^3 + 4x + 5$, $I = (-\infty, \infty)$

(2) $f(x) = x - e^x$, $I = (0, \infty)$

2. 解き方の手順

関数の増加・減少を調べるには、導関数 $f'(x)$ の符号を調べます。

(1) $f(x) = x^3 + 4x + 5$ の場合

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 + 4$

区間 $I = (-\infty, \infty)$ において、$f'(x)$ の符号を調べます。

$f'(x) = 3x^2 + 4$ は常に正であるため、$f'(x) > 0$ が成り立ちます。

したがって、$f(x)$ は区間 $(-\infty, \infty)$ で常に増加します。

(2) $f(x) = x - e^x$ の場合

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 1 - e^x$

区間 $I = (0, \infty)$ において、$f'(x)$ の符号を調べます。

$x > 0$ のとき、$e^x > e^0 = 1$ ですから、$f'(x) = 1 - e^x < 0$ が成り立ちます。

したがって、$f(x)$ は区間 $(0, \infty)$ で常に減少します。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^3 + 4x + 5$ は区間 $(-\infty, \infty)$ で常に増加する。

(2) $f(x) = x - e^x$ は区間 $(0, \infty)$ で常に減少する。